De uno a infinito. Al corazón de las matemáticas
autor: Raffaella Manara
Docente de matemáticas y curadora de la muestra
Edward Nelson
Docente de matemáticas en el Deparment of Mathematics, Princeton University
Marco Bramanti (moderador)
Docente de Análisis Matemático en la Universidad Politécnica de Milán y curador de la muestra
fecha: 2010-08-24
fuente: Da uno a infinito. Al cuore della matematica
acontecimiento: Meeting per l’amicizia tra i popoli: "Quella natura che ci spinge a desiderare cose grandi è il cuore", Rimini, Italia
(Meeting para la amistad entre los pueblos: "Esa naturaleza que nos empuja a desear cosas grandes es el corazón")
traducción: Jorge Enrique López Villada

MARCO BRAMANTI:
Bueno entonces, buenos días a todos y bienvenidos a este encuentro de la presentación de la Muestra "De uno a infinito. Al corazón de las Matemáticas" a cargo de la asociación Euresis. A todos doy las gracias por esta participación numerosa, no sólo por estar esta mañana en el encuentro sino también y sobre todo por las visitas que están haciendo a nuestro sitio en la feria y que está realmente abarrotado. Saludamos a los invitados que tenemos con nosotros, Edward Nelson, que es docente de Matemáticas en el Deparment of Mathematics, en la Princeton University y que con su contribución nos ayudará a reflexionar sobre el tema de la muestra y a Raffaella Manara docente de matemáticas en escuelas superiores en Milán y coordinadora del grupo de los curadores de la muestra. Por sus experiencias ellos nos podrán mejor introducir al cómo y al por qué de la exhibición.
Antes de dar la palabra a nuestros invitados, quiero tratar brevemente de encuadrar esta exhibición en el contexto del Meeting, este gran Meeting "Esa naturaleza que nos empuja a desear cosas grandes es el corazón". Tengo que decir que cuando en los meses pasados, hablando con algunos amigos o colegas del hecho que estábamos preparando una muestra sobre las matemáticas, la pregunta típica era: "pero ¿en qué sentido una exhibición sobre las matemáticas?, ¿sobre qué?” y la pregunta me puso realmente un poco incomodo, porque efectivamente se trataba de mostrar que ésta no era en particular una exhibición sobre algún aspecto, sino en general una exhibición sobre las matemáticas y esto se ve grandemente ambicioso y presumido, como si se pudiera, en una exhibición, decir qué cosa son las matemáticas o contar todo de las matemáticas, pero no es así evidentemente. Sin embargo, de algún modo ésta es una muestra que no trata sobre un detalle sino que va al corazón, apunta a comunicar el núcleo de las matemáticas, cuales sus motivaciones, los motivos de su atractivo y en qué sentido pueden hablar al corazón del hombre. Por lo tanto es una exhibición que se dirige a todos, que quiere ser la propuesta de un encuentro con las matemáticas en términos personales, así que se ha privilegiado todo lo que en la muestra se puede ver, tocar y escuchar con respecto a los discursos. Una propuesta hecha para quienes, como muchos, han archivado las matemáticas desde hace años, de cuando estaban en la escuela, como algo que ya no tiene que ver conmigo, que no me interesa, que no va conmigo, etcétera. Por esto me permito hacer una recomendación: intentar superar el prejuicio que nace casi automáticamente cuando se nombra la palabra matemática – "de todos modos yo no entenderé nada". Superemos este prejuicio fiándonos del trabajo de quienes por meses han intentado hacer comunicable, visible, accesible las matemáticas. Realmente una muestra para todos: pero, ¿por qué debería interesar a todos?, ¿qué tiene que ver con el tema del meeting? Intento decir algo sobre esto. Las matemáticas son uno de los más grandes métodos de conocimiento que la humanidad haya podido inventar, una de las más grandes vías de la búsqueda de lo verdadero junto al método científico, al método filosófico y a algún otro (naturalmente cada método tiene valor en su propio ámbito, no es que sean alternativos). Es un método que tiene algo interesante para el corazón del hombre, tiene características interesantes para el corazón del hombre. Ante todo es un método que tiene la capacidad de engendrar un acuerdo vasto entre las personas. Cuando decimos, banalizando: "eh sí, en matemáticas 2+2 son 4", decimos algo correcto. Es decir, en matemáticas es normal estar de acuerdo alrededor de lo que es verdadero y de lo que es falso, y esto no es algo frecuente en los hechos humanos. Las matemáticas también tienen la característica de ser una tradición viviente que continúa después de 2500 años y continúa como un saber acumulativo y ninguna revolución borra su pasado y realmente engendra una amistad entre progreso y tradición. Esto significa que esta concordia, esta comunidad, esta concordia que alrededor de lo que es auténtico o falso toca no solamente el espacio sino también el tiempo, pues nos pone de algún modo en contacto con quien nos han precedido. Hay otra característica interesante de este método: las matemáticas son, por un lado, la disciplina más abstracta que hay, pero por otro lado se muestran, se han demostrado capaces de un sorprendente abrazo sobre la realidad física, sobre la realidad concreta como nos testimonia en particular la historia de los últimos trescientos años de la ciencia entrelazada al método matemático. Una abstracción para nada hostil a la realidad sino más bien que de algún modo nos pone más en contacto con la realidad. Finalmente, una observación que tiene más que ver con los matemáticos y sus motivaciones subjetivas, es decir, con su búsqueda de la belleza. Es evidente que quien se ocupa de las investigaciones matemáticas, quién las enseña con gusto y con pasión, y también o sencillamente quién las estudia con gusto y pasión, que en las matemáticas, el estudio de las matemáticas siempre está entrelazado como motivación subjetiva, con una búsqueda de la belleza; hay una búsqueda de simetría, de armonía, de elegancia, de sencillez, de generalidad que se entrelaza como motivación subjetiva, como fuerte empuje a esta búsqueda de verdad. Luego vemos que emergen, tratando de llegar al corazón de las matemáticas, estas notas, una búsqueda de lo auténtico, la búsqueda de lo bello, una búsqueda de lo verdadero que sea compartida a través del espacio y del tiempo. ¿No son quizás todas estas cosas grandes las que nuestra naturaleza nos empuja a desear? Se empieza así a intuir cómo yendo al corazón de las matemáticas somos llevados a acariciar el corazón del hombre. Esto que he dicho es sólo un esbozo inicial porque luego todo debe ser profundizado en el encuentro personal que cada uno puede hacer con las matemáticas y con los matemáticos, es decir, con las personas que han hecho de ellas su actividad, su interés, su pasión. Y por eso no nos detenemos aquí sino que invitamos a todos a visitar la exhibición que añade mucho más que estas pocas palabras que les he dado y es el motivo para escuchar a ciertas personas que nos darán su contribución, su intervención. Empezamos con Edward Nelson. Como ya he dicho es profesor de matemáticas de la Universidad de Princeton; es un matemático de amplios conocimientos y con una enorme experiencia en investigación sobre todo en el campo del análisis funcional, cálculo de probabilidades y física matemática, en particular sobre las teorías cuánticas y precisamente por algunas de sus contribuciones al estudio de las teorías cuánticas ha ganado el prestigioso premio Steele en el año 95 y en año más recientes se ha dedicado a la lógica y fundamentos de la matemática. En resumen. Un amplísimo conocimiento y un arduo trabajo que le dan una experiencia sin igual. Y por lo tanto me siento deseoso de escuchar sus comentarios sobre nuestra muestra y la pregunta la pondría en los términos más generales, es decir, ¿qué es para ti el corazón de las matemáticas y en qué sentido éstas pueden ser interesantes para nosotros, para el corazón del hombre?

EDWARD NELSON:
[Diapositivas]

Gracias. Intentaré al final de esta presentación contestar a la pregunta: ¿cuál es el corazón de las matemáticas? Primero es necesario hablar de la naturaleza de las matemáticas. Quiero empezar con un aspecto extraño e interesante de las matemáticas, es decir, el poder de la paradoja.

Primera paradoja. Para estudiar el razonamiento matemático es necesario quitar cada significado del razonamiento. Empiezo con la paradoja más difícil mientras todavía estamos despiertos. Ciertamente este procedimiento no tiene sentido para la ciencia, el quitar el significado. Pero las matemáticas no son una ciencia. Quizás la mejor analogía es la música. ¿Qué sentido tiene el comienzo de la Quinta Sinfonía de Beethoven? No significa nada, pero está. Por ejemplo, en la formulación originaria de la aritmética de Peano, el principio de inducción matemática solicita la comprensión de la noción de propiedad. Y de manera parecida para la teoría de los conjuntos de Zermelo. Hoy hay un modo muy claro para distinguir entre un sistema de axiomas que solicita una comprensión del significado y un sistema formal. En el segundo caso se puede programar un ordenador con el software pero no en el primer caso. En los sistemas de Peano y Zermelo, en las formulaciones originarias, fracasa este criterio. Giuseppe Peano (1858–1932), gran matemático; Ernst Zermelo (1871–1953), matemático alemán. El estudio del razonamiento matemático, como un aspecto de las matemáticas, es decir una estructura abstracta, le es debido al gran matemático David Hilbert (1862–1943) gran matemático y también un gran persona; fue feminista y se opuso al nazismo. Fue él quien hizo entender que para estudiar el razonamiento de las matemáticas con la misma claridad y precisión como los matemáticos estudian la geometría y el análisis, era necesario descartar la semántica y concentrarse en la sintaxis. Cada progreso subsiguiente en la lógica matemática depende de este discernimiento de Hilbert. Por ejemplo: los Teoremas de Imperfección de Gödel. Gödel ha sido llamado “el más grande lógico después de Aristóteles", aunque en mi opinión sería más exacto llamar a Aristóteles el más grande lógico antes de Gödel. Otro ejemplo: los Teoremas de Independencia en la teoría de conjuntos Paul Cohen – Paul y yo estudiamos juntos en la universidad, él murió hace tres años. Tercer ejemplo: la aplicación de la lógica matemática al problema difícil del álgebra de Julia Robinson (1919–1975), grande matemática estadounidense.

Segunda paradoja. He aquí otra paradoja potente, la paradoja de Berry, G. G. Berry, bibliotecario jefe de la biblioteca Bodleian, de la Universidad de Oxford. La paradoja es: consideremos el mínimo número no nombrable con menos de "once" palabras. Estoy haciendo una presentación de matemáticas, entonces hagamos una actividad matemática, el acto más primitivo, es decir, contar: “once, doce, trece,… veinte” Hemos nombrado este número en una oración con diez palabras, ésta es la paradoja. El mínimo número no nombrable con menos de once palabras apenas lo hemos nombrado en diez palabras. Parece una tontería pero George Boole, matemático americano, ha usado esta idea para dar una demostración mucho más simple del Primer Teorema de Imperfección de Gödel, mucho pero mucho más simple.

Tercera paradoja. Las ecuaciones de la mecánica cuántica tienen una solución bien determinada, pero las predicciones de la teoría no son determinadas. En la mecánica cuántica se puede predecir solamente la probabilidad de un resultado y es por esto que Einstein no aceptó nunca la teoría de la mecánica cuántica como una teoría completa. La mecánica cuántica es la teoría científica más completa que hay, pero más de 80 años después del planteamiento de esta teoría no hay ningún consenso sobre el significado, sobre la interpretación de la teoría. En esto he trabajado por años, pero estoy más perplejo hoy que al principio. Ésta es una paradoja todavía no solucionada. La ecuación de Schrödinger, ecuación de la base de la mecánica cuántica: es sencillamente hermosa como diseño, ¿no es cierto?

Cuarta paradoja. El objeto puede ser girado 360° y entrar en otro estado físico. Pero después de dos vueltas llegas a 720° y vuelve al estado inicial. Así es el electrón de Dirac. Esta paradoja se puede demostrar, les invito a sacarse el cinturón. Ánimo, estamos sentados, no hay ningún peligro que se nos caigan los pantalones. Lleven para arriba el electrón. Éste es un estado del electrón. Entonces damos una vuelta entera (360°): he aquí otro estado del electrón. Y se ve que hay un nudo. Se puede hacer pasar una parte del cinturón, así, pero siempre queda con un nudo. Bien. ¿Lo han visto? Ahora damos dos vueltas enteras. Parece un estado aún más complicado, pero intentemos. No, es el estado original. Hay dos estados del electrón. Ésta es una paradoja solucionada, hace parte de la mecánica cuántica, la ecuación de Dirac.

Quinta paradoja. En griego "relación" y "racional" casi son la misma palabra. Pero la relación entre la diagonal de un cuadrado y el lado es irracional. Pues "relación" y "racional" en griego casi son la misma palabra. Permítanme decir "ratio" en lugar de "relación". Pues el ratio es irracional, ésta es la paradoja. He aquí, éste es el primer gran teorema de las matemáticas, gracias a los pitagóricos. Y la demostración no es difícil. Tomemos a dividido por b al cuadrado y todo igual a 2, donde a y b son números enteros (1,2,3,4 etcétera). Demostraremos que no es posible, que la relación raíz cuadrada de 2 no sea un número racional. Si ambos a y b son iguales podemos dividir repetidamente ambos por 2 y al final a o b será impar. ¿Ok? Pues escribimos así la ecuación: a2 = 2b2. Entonces se ve que a2, y por tanto también a, son pares. Si el cuadrado es par también el número será par. 4 es el cuadrado de 2, 16 es el cuadrado de 4 y así sucesivamente. Esto es fácilmente demostrable. Entonces a es par. Podemos escribir a en la fórmula: a=2c y entonces reemplazamos 2c en el sitio de a. Entonces queda 2c2 = 2b2 ahora cancelamos el factor 2 a cada lado y nos queda c2 = b2. Como también b es par, no hay contradicción, con que sea 2d. Es esta la demostración. Como he dicho este teorema fue una grande sorpresa para los matemáticos griegos y ha tenido muchas consecuencias.

Sexta paradoja. El movimiento casual, el movimiento al azar, demuestra regularidad extraordinaria. Es un hecho extraordinario, que el movimiento que parecía no tener estructura, el movimiento estocástico, demuestre regularidad. Hay mil ejemplos del proceso de Wiener, el movimiento estocástico. He aquí una regularidad. Sea µ de n = a +1 o bien a –1 al azar, exactamente una situación con probabilidad 1/2 (un medio), pues no hay preferencia por +1 y no hay preferencia por –1. ¿Entonces ciertamente por cada número alfa superior a 1/2 existe el número k, tal que por cada n la suma de los pasos es inferior a k elevado a n (kn). ¿Qué quiere decir esto? Este resultado quiere decir que el movimiento casual, estocástico, ciertamente después de n pasos no desvía más que la raíz cuadrada de n al punto de inicio. Porque alfa puede estar mucho cerca de 1/2. Repito, este resultado quiere decir que el movimiento estocástico con certeza después de n pasos se desvía menos que la raíz cuadrada de n desde su punto de inicio. Fíjense bien en esta fórmula, la volveremos a ver.

Y ahora la última paradoja, la número siete. Los problemas más simples que proponer pueden ser los más difíciles por solucionar. El problema isoperimétrico es el problema más importante de las matemáticas, es la Hipótesis de Riemann – Bernand Riemann (1826–1866), gran matemático alemán muerto a los 39 años –. Una premisa: Sea µ(n) la función de Möbios – August F. Möbios (1790–1868) gran matemático y astrónomo alemán.–. La función de Möbios, es decir µ(n) es = +1 si n es el producto de un número par de números primos diferentes, (los números primos son 2,3,5,7,11 etcétera, es decir, no tienen divisores) y µ(n) = –1 si n es el producto de un número impar de números primos diferentes y µ(n) = 0 si n no es un producto de primos diferente. Por tanto tenemos esta función: +1 con un número igual de divisores primos; –1 con un número impar de divisores primos. La Hipótesis de Riemann, que es el más importante problema de toda la matemática, afirma que por cada número alfa superior a 1/2 existe un número k tal que por cada n la suma de los pasos es inferior a k elevado a la n, la misma fórmula que ya hemos visto para el movimiento al azar. Entonces, la Hipótesis de Riemann quiere decir que la suma de los valores de la función de Möbios se comporta exactamente como el movimiento estocástico. ¿Y por qué? Porque los números deberían tener la preferencia por el número igual de divisores o viceversa, pero a pesar de las tentativas de los más grandes matemáticos durante más de 150 años, nadie ha podido solucionar este problema. Quizás este problema no les parece tan simple, pero si un matemático abre al azar una revista de matemáticas, y si no es experto en el tema matemático tratado en el artículo probablemente no entenderá nada. Pero la Hipótesis de Riemann se puede explicar también a quienes no son matemáticos con un poco de fatiga. He aquí otro problema abierto, aún más simple pero no menos importante. Un número se dice "perfecto" si es igual a la suma de sus divisores. Por ejemplo, los divisores de 6 son 1,2,3 y 6 es igual a la suma 1+2+3; también 28 es perfecto: sus divisores son 1,2,4,7,14 y la suma de estos números, de estos divisores es 28. Este concepto se remonta a Pitágoras, siglo sexto antes de Cristo. Euclides ha demostrado un buen teorema sobre los números perfectos pares y dos mil años más tarde, en el 1700, Euler, ha demostrado el inverso del Teorema de Euclides. Pero he aquí el problema planteado: ¿existe un número perfecto impar? Este problema queda sin resolver después de 2500 años y se sigue trabajando en él. ¿En qué otro campo se puede decir que el espíritu humano demuestra tanta tenacidad? Estos problemas no son importantes para la tecnología y no son tampoco importantes para el desarrollo ulterior de las matemáticas, pero "tenemos que saber”. He aquí el corazón de las matemáticas: esa naturaleza que nos empuja a desear cosas grandes. Las matemáticas son útiles para la ciencia y para la tecnología, pero el corazón de las matemáticas es la batalla contra lo desconocido. Sobre la tumba de David Hilbert, está escrito: "Wir müssen wissen. Wir werden wissen" ("Tenemos que saber. Sabremos").

MARCO BRAMANTI:
Damos las gracias a Edward Nelson por esta intervención tan rica en experiencias fascinantes. Esta última afirmación, el corazón de las matemáticas es la batalla contra lo desconocido, me parece que refleja y encarna en la vida del investigador aquel deseo infinito de verdad que es de todo hombre, como tantos otros motivos de reflexión que él nos ha dado son verdaderamente fascinantes relacionados con los temas que hemos tocado en la exhibición. Este hecho misterioso que parece que en matemáticas todo puede tener que ver con todo, como nos ha mostrado con sus últimas paradojas, el concepto abstracto con lo concreto, un campo con otro, esta aparente ilimitada libertad del matemático que tiene siempre que obedecer de algún modo a un objetivo, unas reglas, a algo. Bueno. Ahora, Raffaella Manara. Raffaella Manara, como ya hemos dicho, profesora de matemáticas, persona de vasta experiencia didáctica, ha escrito libros de texto sobre la enseñanza, pero sobre todo creo poder decir que ha trabajado con un número impresionante de otros enseñantes además de estudiantes con gran pasión por la enseñanza de las matemáticas, por la educación, por la instrucción. Y además es quien ha coordinado nuestro grupo de curadores de la exhibición con gran pasión, determinación y también con una inmensa paciencia necesaria para poder poner juntas todas esta piezas de mosaico que son la muestra y todas estas personas. Bueno, con ella queremos entrar en la muestra, su cómo y su por qué. Luego te preguntaré por las motivaciones que hicieron realidad esta muestra y que nos digas cómo está estructurada y cómo acercarnos a ella durante la visita a la muestra.

RAFFAELLA MANARA:
La idea y el deseo de una muestra sobre las matemáticas se consolidó desde hace tiempo en un grupo de estudiantes y docentes amigos que han vivido la experiencia de la aventura de las matemáticas y quisieron encontrar una vía para comunicarla. En los últimos años, diferentes e insistentes intervenciones de Benedicto XVI nos han empujado con insistencia a realizar este proyecto; el Papa continuamente ha dicho que las matemáticas son un aspecto importante, algo siempre presente en la vida del hombre moderno y que influye en su cultura, importante parar nuestras personas; y como estamos bien convencidos de esto, este continuo apremio nos ha cuestionado más y los amigos de Euresis nos han reclamado y dado la ocasión para esta muestra en el contexto del Meeting que tiene un título para nosotros maravilloso, algo que tiene que ver con el corazón del hombre.
En estos años se habla mucho de las matemáticas, no solamente en el entorno que para mí es más familiar, aquel de la escuela, donde ha representado una presencia indispensable pero también problemática, “una piedra en el zapato” bien conocida; en este período, en estos años ha habido una amplia divulgación matemática con muchas y numerosas publicaciones, también con otros tipos de propuestas, quizás conozcamos o seguimos la teleserie "Numbers", que tiene entre sus colaboradores a ilustres matemáticos y que propone algo un tanto insólito: en el centro está la figura de un matemático y la función de las matemáticas como elemento determinante en la solución de ciertas cuestiones. ¿Qué puntos de vista quisimos adoptar para no entrar en ámbitos no siempre correspondientes con lo que queríamos comunicar y que no fuesen redundantes? No queríamos hacer un discurso sobre las matemáticas, queríamos ver si lográbamos hacer que las matemáticas fuesen vistas desde dentro, es decir, comunicar una pequeña parte, una conexión, un inicio de qué cosa es la experiencia de las matemáticas y de si es posible encontrar las matemáticas.
Está claro que las matemáticas son tan vastas que lo que proponemos no es más que una pequeña incursión, una pequeña abertura; pero también a través de una mínima fisura, como al entreabrir sólo un poco la puerta, entra ya un rayo de luz. Así que hemos buscado una forma de acceso que pueda ser ofrecida a todos y no sólo a los especialistas; queríamos poder llegar al corazón de cada uno solicitando solamente la disposición a visitar la muestra superando eventuales prejuicios o juicios predeterminados como: "no es para mí" o bien lo que se cree son las matemáticas: un saber frío, concluido, indudablemente muy esencial pero del que se puede obviar, por lo tanto no me toca. Intentar ver si también hay algo para mí, para ti, para cada uno de nosotros. Una de las cosas más bellas y que nos ha sostenido en este trabajo ha sido el ofrecimiento que se dio al inicio, no sé cuántas personas conocidas o que apenas conocía han dicho “en algo así yo quiero estar, yo quiero participar en la muestra, yo quiero estar allí."
Esto ha sido espectacular, pues evidentemente algo desde el cual iba a tomar de verdad el corazón de toda esta cuestión para quien estaba adentro. Igualmente bello ha sido ver cómo personas que han colaborado con nosotros, no porque fueran matemáticos sino, por ejemplo, para dar su trabajo de instalación, de organización, una compenetración total, hasta el punto de haber logrado resultados mucho más grandes de los esperados, por ejemplo, la planta física de la muestra, la cual ha resultado realmente increíble ha sido una posibilidad de expresar durante su ensamblaje aquello que nosotros queríamos decir; una planta física extremadamente rigurosa y geométrica pero de un dinamismo interesantísimo, que más adelante ilustraré y de una belleza realmente notable.
Pero no solamente los arquitectos nos han sorprendido, los diseñadores que han realizado cosas realmente notables, demostrando sobre todo su identificación con la cuestión y también para quienes no partían de un conocimiento matemático; en fin, todos hemos vivido esta experiencia de un modo que al final nos ha sorprendido, como siempre sucede; ha sido un trabajo que podemos reconocer como búsqueda y búsqueda vivida en común y que nos ha llevado a una comprensión de las cosas que algunos de nosotros conocemos bien, que otros conocen menos y que otros tienen todavía que aprender, pero no es sólo una cuestión de aprender, es una comprensión del por qué, una comprensión de qué quiere decir, una comprensión del corazón de la cuestión que ha sido el valor para nosotros de haber construido y trabajado sobre esta muestra.
Nuestro deseo es el poder encontrar las matemáticas y el punto de partida para encontrar algo es encontrar a los hombres que lo hacen, los matemáticos; y estos hombres son las personas, algunos presentes, las personas vivientes que hoy viven y hacen las matemáticas, ¿quiénes son? ¿Qué hacen? ¿Qué viven? También hemos encontrado otras personas en el trascurso del trabajo durante este año a quienes hemos puesto estas preguntas, a ellos hemos puesto qué experiencia de sentido era para ellos, qué quiere decir, qué ganan con ello. También los maestros y los matemáticos del pasado y aquí tenemos un aspecto particular de la historia, de la larga tradición viviente a la que ya el doctor Bramanti señalaba y que es narrada, podemos decir, contada con pasos bien pensados en la que llamamos la galería histórica, donde lo que encontramos son rostros de hombres y aventuras de hombres; hombres que han aceptado estar sobre los problemas y se han empeñado en esto.
La historia de las matemáticas es realmente otro de los aspectos sobre el cual el Papa nos llama continuamente, porque su insistencia de hallar las raíces en la cultura griega de lo nuestro como fuente de nuestra racionalidad, es para las matemáticas esencial y nosotros nos encontramos completamente comprometidos en ello – y en efecto el inicio de todo este asunto está allí.
Otros matemáticos del pasado nos acompañan y nos guían – esto no lo abordaré en los detalles – y también matemáticos de un pasado reciente, muy cercanos a nosotros cuya herencia estamos viviendo y que –ésta es la frase introductora de la exhibición– nos manifiestan el sentido de la matemáticas como manifestación del amor por la sabiduría; leo las palabras de De Giorgi porque expresan realmente bien lo que nosotros nos podríamos esforzar en decir con palabras menos aptas: "Las matemáticas se caracterizan, por un lado, por una gran libertad – y esta palabra se refiere al corazón del hombre – y por el otro, por la intuición que el mundo está hecho de cosas visibles e invisibles y que quizás las matemáticas tengan la capacidad única, entre las otras ciencias, de pasar de la observación de las cosas visibles a la imaginación de las cosas invisibles, éste es el secreto de la fuerza de las matemáticas". Diría que pone una de las claves de lectura de la muestra; uno de los aspectos por los que uno no puede no apasionarse por las matemáticas según yo, es la continua dialéctica entre la razón y la experiencia, entre la realidad, la realidad material, física, perceptible y la realidad del pensamiento, las cosas visibles y las cosas invisibles de las que habla De Giorgi. Las matemáticas están hechas de ambas, es un recorrido continuo que está en las dos y a su vez es una continua referencia entre la razón y la experiencia y el secreto de la fuerza de las matemáticas, lo dice de nuevo, no puede partir solamente de su aplicación, es necesario partir de su naturaleza.
¿Cómo queremos proponerles el encuentro con las matemáticas en la muestra? Queremos tratar de explorarlas como actividad, repito, no hacer "un discurso sobre", sino tratar de explorarlas como actividad y ésta es la clave para comprenderlos juntos, al menos algunos contenidos y el método, dos cosas que no son separables de las matemáticas porque las matemáticas son un continuo intercambio entre forma y contenido, como dice Freudental, otro de nuestros maestros.
Entonces el punto de partida es el empeño de las matemáticas por la explicación de las cosas, con el por qué que la realidad suscita, que la realidad suscita a través de los problemas.
Tenemos como inicio la imagen de un niño y esto no por azar, sino porque la apertura que es reclamada es la apertura del niño, quien también jugando, como digo a menudo, juega en serio, es decir, juega para conocer, está sobre las cosas para conocer, tiene un deseo de conocimiento que no se sacia si no encuentra una vía de respuesta.
Esto es tan verdadero que también tenemos, junto a nuestra muestra principal de este año una muestra dedicada a los chicos, en la cual el mismo recorrido que ofrecemos a los adultos pero con un cierto nivel de atención, de actividad, es propuesto como actividad a los niños, actividad pensada y adecuada a ellos pero con el mismo tipo de propuesta.
Entonces, partir de un problema, aunque sea un problema simple, no un problema matemático de alto nivel, es la ocasión para entender cómo disponerse a estar frente a las cosas, hacer propio este problema, aceptar medirse y entender que éste es como el desafío que la realidad nos pone, nos reclama a aceptarla y a estar atentos a todo.
Luego el método quiere decir que el enigma de la realidad reclama a movernos de modo correcto, no dando respuestas casuales, sino a proceder según lo que la realidad misma reclama; ahora, a través de la galería histórica, es decir de la compañía de quién nos ha precedido y que nos han dejado esta gran tradición, abandonemos ahora un poco el problema inicial, dejemos a un lado el aspecto un poco lúdico y divertido y entremos al núcleo de la muestra para encontrarnos directamente con las matemáticas actuales y sus aspectos de hoy. El centro de la muestra es un espacio hexagonal que quizás, como han visto en el plano, hemos llamado “plaza de las matemáticas” y tiene en el centro un gran árbol, metáfora de un modo de mirar las matemáticas como algo vivo, arraigado y que crece –que es efectivamente aquello que luego son las matemáticas– no es quizás el modo como estamos acostumbrados a pensarlas, no es quizás la herencia que hemos recibimos por experiencias escolares que a menudo frenan un poco este asunto, es bastante opuesto a lo que estamos acostumbrados –pues nos imaginamos más un paquete de reglas– pero es realmente un organismo vital donde sus raíces cuentan: el problema de los fundamentos: cuáles raíces sostienen el árbol, es una de las cuestiones más interesantes y más importantes.
Alrededor del gran árbol de las matemáticas hay ejemplos, matemáticas ejemplares, seis elecciones de argumentos que corresponden a los verdaderos problemas sobre los que las matemáticas trabajan.
Sólo dos ejemplos. Uno, el problema llamado de simetrías extremas que es un problema al mismo tiempo geométrico y analítico y es un problema que nos ha llegado desde el tiempo de los griegos, es decir, de antiquísima data, pero solucionado por De Giorgi apenas a mediados del siglo pasado, y eso dice todo el camino sobre el cual el doctor Nelson ya nos ha dado ejemplos.
Dos, un rincón dedicado a la criptografía, un aspecto muy interesante de cómo las matemáticas de modo bastante imprevisible entran en cuestiones que no siempre uno se puede imaginar que estén directamente conectadas.
Alrededor de la gran plaza tenemos cuatro lugares que hemos llamado habitaciones, donde nos hallamos como frente a una lupa mirando el corazón y los puntos claves de las cuestiones de las matemáticas; las cuatro habitaciones nos llevan a entender más a fondo cómo nos acercamos a las matemáticas y por qué encontramos respuesta a las cosas que nos interesan profundamente.
La primera es la habitación de la demostración; nuevamente es la mirada de un niño que nos pide decir dónde termina nuestra mirada sobre las cosas, qué quiere decir demostrar, por qué las matemáticas expresan un tan profundo, tenaz y a menudo casi que no se puede colmar deseo, hasta que no es satisfecho, deseo de convicción de la verdad de lo que quiero decir. Es el problema clave que corresponde a la evolución del modo como miramos las cosas; la frase de Kierkegaard lo dice claramente: "Lo que se ve depende de cómo se mira, observar es no sólo percibir, desvelar, sino que es al mismo tiempo un acto creativo". La demostración es como el camino de una mirada: deseo llegar a ver más, éste ver, ver sólo físicamente no es suficiente, hay que ver con el pensamiento. En esta habitación se desea, se busca realmente hacer comprender el corazón de la cuestión; no todo lo que es verdadero es demostrable, a las matemáticas le interesa un cierto tipo de cuestiones, abarca otro tipo de cuestiones, se pone delante de las cosas para investigar. En la habitación de la demostración decimos que hemos puesto el problema de la verdad, qué es una verdad.
Un segundo aspecto en una segunda habitación explora una de las uniones más profundas entre las matemáticas y la belleza y lo que el hombre siente como deseo de búsqueda de la belleza, a través de la relación de simetría, que es algo que nos impacta en nuestra relación con la realidad, que no podremos evitar de observar, mirar, apreciar y por otro lado no podemos no expresar, porque también en el acto de crear algo reconocemos esta relación como expresividad de la belleza. Las matemáticas quieren ir al fondo de esto, buscando descubrir y describir profundamente desde su punto de vista qué significa la simetría, también este un camino de siglos, del conocimiento de algo que se puede experimentar solamente mirando, solamente juntando cosas conocidas, ya conocidas, incluso antes de una reflexión teórica y completamente explorada desde el punto de vista de los matemáticos, también en este caso sorprendentemente, al principio del siglo veinte.
Estoy hablando de las formas geométricas extraordinarias presentes en La Alhambra, en España, que fueron plenamente descritas matemáticamente sólo cuando el concepto de grupo es propuesto y explorado a principios del siglo veinte.
En esta habitación se muestra el influjo de la anterior simetría en algunas composiciones musicales usando el mismo tipo de observación, haciendo notar que, cuando el descubrimiento de la consistencia y de la descripción completa de esta simetría se convierte en jaula, como si ésta fuera la regla o el canon, enseguida el corazón del hombre es impulsado a ir más allá y la expresión artística que usa la simetría propone siempre una pequeña rotura de esta simetría, es decir, la posibilidad de ir más allá; este ir más allá es otra de las características que encontraremos en todas las habitaciones.
Tercer aspecto, completamente fascinador y extraordinariamente presente en las matemáticas es la relación con la idea de infinito; para los matemáticos ésta es una experiencia continua e inevitable y tiene mucho que ver con la idea de paradoja sobre la que el doctor Nelson nos ha hablado y también mucho que ver con el corazón del hombre, el descubrir que no logro entender mi experiencia finita si no puedo colocarla en un horizonte infinito; ahora, esto para las matemáticas es esencial, lo finito testigo de lo infinito claramente indica esto: nosotros trabajamos con las matemáticas en lo finito, describimos y usamos procedimientos finitos pero no podemos hacerlo a no ser a través del concepto de infinito.
Finalmente un ir al fondo en la última de las cuatro habitaciones, es una profundización que nos reconduce al punto de partida que ha sido una de las solicitaciones de Benedicto XVI y es la relación que las matemáticas tienen con la descripción racional de la realidad física, relación genética por las matemáticas, absolutamente inevitable, que ha tenido un desarrollo distinto en su historia, con etapas bien precisas y que propone y relanza las matemáticas como lenguaje de la descripción de los fenómenos –nosotros sólo hemos afrontado el discurso de la realidad física pero sabemos que hoy esto ha encontrado, las matemáticas han encontrado una cantidad enorme de otros campos, y la idea de las matemáticas como lugar de construcción de modelos de los fenómenos.
Queremos que el modo como hemos propuesto y tratado de hablar de esta experiencia de las matemáticas en la muestra resulte realmente accesible a todos y pueda ser un principio de experiencia con las matemáticas, no queremos que sea una lección de matemáticas, cierto que se habla de matemáticas, pero mostramos muchos aspectos de las matemáticas; lo que deseamos que sea, nuestro intento no es dar respuestas sino de dejar abiertas muchas preguntas, acostumbrarnos a lo que es realmente la naturaleza de las matemáticas, la naturaleza de las matemáticas es interrogar la realidad, es decir, hacer preguntas –contrario a lo que tenemos en mente– entonces no queremos tampoco dar las respuestas, esperamos que la realización de esta experiencia ocurra después, también dentro y libremente. Durante la visita a la muestra no pretendemos en general enseñar todos los aspectos de los que he hablado, aunque todos nos gustan, tratamos de enfocar, de dar algunos pasos para enfocar los elementos de los que he tratado de dar las categorías fundamentales.
Después de esto, uno es libre entrar, de volver, de abrir discusiones con los guías, de hacer preguntas, también solicitar intervenciones de los curadores que de buena gana están dispuestos a atender a todos, es más hemos añadido al espacio de la muestra un espacio de trabajo, un pequeña aula de trabajo está dedicada al diálogo, a la intervención de personas que quieren comunicar la propia experiencia, a la interlocución con personas que quieren acercarse a nosotros, a la escucha de experiencias acerca de las matemáticas y quizás más en particular sobre el aspecto de la escuela que está muy presente entre muchos de nosotros y en general para los invitados del Meeting pero también para los chicos.
En conclusión, nuestro deseo es el de haber logrado explicar por qué ésta exhibición se centra fundamentalmente en el deseo de las cosas grandes que tiene nuestro corazón, que es el título del Meeting, tratar de proponer, tratar de enseñar lo que nosotros hemos experimentado, la posibilidad de una aventura intensamente humana que nos pone en camino y nos da los modos de estar frente a las cosas a las que no podemos renunciar.

MARCO BRAMANTI:
Bueno, damos las gracias a Raffaella Manara por su intervención que creo ha sido muy útil para introducirnos a la concreción de la muestra; quiero sólo retomar una frase que ella ha dicho y que me tiene realmente impactado, ella ha dicho: "Ha sido un trabajo de búsqueda vivido en común" y comparto plenamente esta afirmación pues una de las cosas bellas para mí al trabajar en esta muestra ha sido precisamente eso y no es que nosotros, un poco paternalmente hayamos decidido explicar algunas cosas que ya sabíamos, sino que realmente el trabajo de preparación de esta exhibición ha sido un trabajo personal y comunitario, compartiendo la búsqueda del sentido de nuestro trabajo cotidiano, al final del cual cada uno de nosotros está más enriquecido y creo que esto es lo que hace posible el hecho que esta muestra sea un encuentro también con los visitantes.
Cierro puntualizando, resumiendo, los instrumentos para disfrutar de la exhibición son todas las cosas que Raffaella ya nos ha dicho pero quiero resaltar algunas: las visitas guiadas, que naturalmente son todo el día, parten cada diez minutos, la pequeña aula de encuentros, al lado a la exhibición, tiene fuera un cartel con el programa de los encuentros que hay en ese día y en los siguientes (esperamos así sea); el catálogo que explica todos los paneles de la exhibición, además de algún artículo de profundización y también, algo distinto de la exhibición, pero ciertamente atada a la muestra, es la exhibición para los chicos, que se encuentra en la aldea de los chicos y allá me parece que parte un tour de visita cada tres cuartos de ahora y debe ser reservado; éstas son en resumen todas las modalidades.
Entonces ahora, Raffaella nos dice cuales son los encuentros de hoy en la pequeña aula.

RAFFAELLA MANARA:
Hoy en la tarde en la pequeña aula de la que ya hemos hablado habrá tres encuentros diferentes: a las 14:00 la exposición de una experiencia didáctica de los últimos años en una escuela media particularmente bella y maravillosa, con un trabajo de laboratorio hecho por los docentes con los chicos: han construido un modelo de la visión de Kepler de los Armonicae mundi; a las 15:00 el doctor Musso nos propone una profundización sobre "matemáticas y realidad", que es uno de los temas de la exhibición y a las 18:30 una profundización de algunos de los curadores junto con un importante colaborador suyo sobre la relación entre la simetría y música tema que hemos señalado como título de una de las habitación. Esto por hoy.

MARCO BRAMANTI:
Bueno, agradecemos nuevamente a nuestros invitados, el doctor Edward Nelson y la profesora Manara y gracias a todos ustedes por haber asistido.

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