El Modelo. En la ciencia
autor: Carlo Felice Manara
Profesor emérito de Geometría adscrito a la Universidad de los Estudios de Milán
fecha: 2006-08-11
fuente: SCIENZAINATTO/ Il «Modello» nella Scienza
Emmeciquadro n. 27
traducción: Jorge Enrique López Villada

Una lección magistral por su rigor conceptual y sencillez de comunicación les ofrecemos a los profesores de los muchos órdenes de la escuela, primaria y secundaria, que pone en evidencia un contenido estructural de importancia fundamental para todas las ciencias de la naturaleza. Evidencia claramente que la matematización de la realidad está en el origen del saber científico como un hilo conductor que redescubre y promete el desarrollarse de la actividad didáctica. Un texto no sólo para leer y comprender, sino para "estudiar" y "aplicar", para incrementar la misma conciencia crítica.

El término "modelo" es utilizado cotidianamente en el lenguaje común y tiene, como casi siempre ocurre, varios significados. Sin embargo existe un concepto común a todos estos significados, concepto que pudiera ser expuesto presentando el modelo de algo como un objeto, una persona, un sistema físico que tiene algún parecido con otro objeto o ente viviente que se quiere conocer, imitar o reproducir.
Esto se puede deducir también de los términos sinonímicos que son empleados a menudo en lugar del término original; entre estos términos sinonímicos recordemos, por ejemplo: boceto, bosquejo, forma, maniquí, arquetipo, prototipo, etc.
También la ciencia utiliza el término "modelo" y, como siempre, lo hace precisándolo, de modo que el término mismo tenga un sentido constante y fijo y no tenga que ser redefinido en su momento dentro del contexto.
Sin embargo, también en este caso, el término "modelo" asume varios significados, en dependencia de las varias teorías y los varios ámbitos en los cuales es empleado y nos parece interesante detenernos a analizar estos ámbitos y estos muchos empleos de un mismo término, porque creemos que esta reflexión también puede conducir a comprender mejor algunos procedimientos que la ciencia adopta en sus varias ramas.
Nos parece que en el empleo científico del término "modelo" es adoptado con varios significados, que tienen sin embargo un fondo común del que hemos hablado.
Reflexionaremos, por lo tanto, sobre estos muchos usos de un mismo término, con el objetivo de comprender mejor el camino que recorremos en la búsqueda de la verdad.

El modelo icónico

Consideremos el primer significado, tal como es presentado y utilizado el concepto de modelo en la técnica y en la ciencia. Se podría decir que se trata de un comportamiento completamente natural de parte del investigador o del técnico; sin embargo, es útil reflexionar sobre las hipótesis, a menudo no analizadas conscientemente y no explícitamente enunciadas, sobre lo que se basa el empleo del modelo en este primer caso.
En efecto, en esta primera acepción, el modelo es considerado como un sistema material que tiene, por alguna buena razón, aspectos en común con otro sistema material que se quiere conocer; en virtud a esta analogía o similitud entre los dos sistemas, las observaciones o las medidas hechas sobre uno de ellos son asumidas como base para llevar información sobre el otro de los sistemas materiales.
Se piensa, por ejemplo, que lo que se hace habitualmente en los túneles de viento para los modelos de aviones, o en los canales navales para los modelos de barcos. La resistencia que un cierto avión opone al vuelo, la elevación de un cierto perfil de ala, la resistencia de cierto casco al moverse en el agua son informaciones necesarias para la construcción de los aviones y sus alas o para la construcción de barcos.
Aún resulta muy difícil y a menudo imposible o demasiado costoso, deducir estas informaciones de las máquinas efectivamente construidas; por tanto, se construye primero un modelo a escala sobre el cual se hacen las mediciones. Lo mismo ocurre para algunos diques grandes, para algunos edificios y para ciertos materiales que sirven para su construcción.
Consideraciones análogas se pueden hacer a propósito de la representación de una región de la Tierra; todos conocen el empleo de los mapas geográficos o topográficos, de los mapamundis y de otras imágenes de nuestro planeta o sus regiones. Estas imágenes son construidas, como suele decirse, "a escala" y las medidas que se realizan sobre las imágenes proveen información sobre las reales dimensiones de las zonas geográficas representadas.
El empleo de modelos en este sentido es aceptado comúnmente como algo completamente natural; sin embargo, merece la pena reflexionar sobre este uso para hacer explícitas las hipótesis sobre las que se basa.
La construcción del modelo de alguna realidad física que se quiere conocer se fundamenta esencialmente sobre la constatación de cierta analogía entre lo que se construye y lo que se representa; analogía que es aceptada sobre bases más o menos sólidas y que justifica el procedimiento seguido. El respeto de esta analogía, intuida en un primero momento y aceptada en un segundo momento como hipótesis de trabajo, se muestra de varios modos: por ejemplo, en el caso de los túneles de viento y en los canales navales, se trata de construir el modelo respetando lo más posible la similitud geométrica; tal similitud en efecto podría ser considerada como lo primero, lo más intuitivo y claro ejemplo de analogía entre entes materialmente diferentes entre ellos.
Lo mismo se puede decir sobre los mapas geográficos o topográficas, que son considerados tanto más útiles cuanto más las medidas realizadas sobre ellos provean información precisa sobre la real conformación de la zona de la superficie terrestre estudiada.
Sin embargo, la analogía puede no limitarse a la pura similitud geométrica de formas, sino que puede revelar propiedades más recónditas de los dos sistemas materiales. Para comprender estas situaciones podemos pensar por ejemplo en los modelos de distribución de velocidad o fuerzas conseguidos con campos eléctricos logrados de diversa forma. En este caso, en efecto, la analogía que permite deducir propiedades de un sistema material de las medidas ejecutadas sobre otro, se basa en la circunstancia que ambos sistemas materiales obedecen, con buena aproximación, a leyes que tienen la misma forma matemática.
En el mismo orden de ideas se podría pensar en los experimentos ejecutados con los fármacos sobre los animales: en este caso se podría decir que el organismo del animal es considerado como un modelo del nuestro, suponiendo que la reacción del animal al veneno o bien al fármaco, a la enfermedad o a la infección sea análoga a la del hombre.
Finalmente, siempre en el mismo orden de ideas, podemos pensar en el procedimiento que se sigue cuando se asimila alguno acontecimiento al azar al resultado de la manipulación sobre algunos sistemas materiales, manipulación que puede dar resultados no previsibles con certeza.
Una situación de este tipo se tiene cuando se esquematiza algún acontecimiento al azar con la extracción de bolitas de ciertas urnas o con otras manipulaciones de sistemas materiales. En este caso tenemos un sistema material (por ejemplo, la urna en la que se han introducido bolitas de diferentes colores en ciertas proporciones) y se piensa, con buenas razones, que el resultado de una extracción represente bastante bien un acontecimiento al azar que se quiere conocer; también aquí se podría decir que la urna es asumida como modelo del sistema material, cuyo comportamiento no es conocido completamente y por tanto es considerado como al azar.

Sentido y límites del modelo icónico

Los ejemplos tomados en consideración, sobre todo el último, enseñan claramente cuáles son los límites de procedimientos que se valen de modelos para conocer la realidad, y cuáles son las precauciones a tomar cuando se quiere evitar desvíos o engaños por analogías y similitudes asumidas de modo acrítico y presuroso.
Estas precauciones son desde hace tiempo bien conocidas: por ejemplo, ya Galileo Galilei en su célebre Diálogo sobre dos nuevas ciencias hace notar que no es posible aumentar en exceso las dimensiones de las estructuras materiales, porque una viga encajada puede partirse bajo su propio peso si se imaginan sus dimensiones aumentadas sobre el límite.
Entonces, por ejemplo, los lugares descubiertos por el viajero Gulliver en los viajes imaginarios descritos por el escritor irlandés Jonhatan Swift no pueden existir en la realidad, en particular los huesos de los gigantes del país de Bronignag se romperían bajo el peso de sus cuerpos.
Análogas consideraciones pueden ser hechas a propósito de las fantasías elaboradas por el matemático, filósofo y teólogo francés Blaise Pascal, 1623-1662; éste, en una célebre página para enseñar la grandeza y la miseria del hombre, imagina que mundos parecidos a nuestro universo, pueden existir en una sola gota de la sangre de un pequeñísimo insecto. También en este caso se puede decir que la fantasía ha conducido demasiado lejos la mente del gran matemático, porque las leyes de la naturaleza impiden la existencia real de mundos que sean la pura y simple reducción o agrandamiento geométrico del nuestro.
Sin embargo, muy a menudo, la construcción o el empleo de un modelo son indispensables para poder encaminar el conocimiento de una realidad que se presenta a primera vista como demasiado compleja poder conocerla de forma más profunda. Muy a menudo también la construcción de un modelo permite averiguar, convalidar y someter a crítica ciertos conocimientos que se creen adquiridos de ciertas teorías; a su vez, la existencia de un modelo estimula la construcción de una teoría que conduzca a un conocimiento más profundo de la realidad que se está indagando.
Se podría concluir entonces que el empleo de modelos, en este primer sentido, casi siempre es útil para la ciencia y para la técnica y muy a menudo indispensable; la tarea del científico es dominar en cada instante los instrumentos que ha elegido, controlar los mismos procedimientos y someter a crítica la información que cree haber logrado y que quiere lograr del modelo. En síntesis y de modo algo rudimentario pero quizás eficaz, se podría decir que el modelo es utilizado en virtud a una presunta similitud y analogía con la realidad que se quiere conocer e indagar y, por lo tanto, la habilidad y la profundidad de pensamiento del científico se manifiestan con la crítica puntual y precisa de estas presuntas analogías y con el continuo control de la información que se obtiene.

Los modelos explicativos de la ciencia

Hemos considerado un primer significado del término "modelo" en la práctica de la ciencia; ahora tomaremos en consideración un segundo significado en el cual el término mismo es asumido en la búsqueda científica. En efecto, en este sentido a menudo se habla de modelo queriendo indicar un sistema material que es imaginado para explicar las observaciones y las medidas que realizamos sobre la realidad que queremos conocer. Para explicar esto mejor, citamos como primer ejemplo el célebre modelo atómico de Bohr-Rutherford; en éste, el átomo fue imaginado como un sistema solar en miniatura, dotado de un núcleo relativamente pesado alrededor del cual se imaginaba que giraran los electrones tal y como los planetas giran alrededor del Sol.
Se podría decir que la elaboración de un modelo imaginario es el procedimiento principal del que se vale la ciencia físico-matemática para poder indagar las leyes de la naturaleza material: podemos pensar, por ejemplo, que aquellos científicos que imaginaron el calor como un fluido sutil que invade los cuerpos, o bien en aquellos que imaginaron un éter cósmico, cuya función habría podido ser el transmitir a distancia las fuerzas gravitatorias, eléctricas y magnéticas; o bien podemos pensar en el modelo que la teoría cinética de los gases construida imaginando las moléculas como bolitas perfectamente elásticas, cuyos choques contra las paredes del recipiente deberían explicar la presión ejercida por el gas sobre las paredes mismas, y la temperatura del gas era puesta en relación con la energía cinética de las bolitas, las cuales eran independientes de la naturaleza química del gas.
Esto en efecto podría ser considerado como la inmediata consecuencia de la conocida ley de Avogadro (1776-1856), según la cual, volúmenes iguales de gas a la misma temperatura, contienen el mismo número de moléculas; lo que pudiera ser expresado, repetimos, diciendo que las moléculas tienen un comportamiento independiente de su naturaleza química.
Hemos dicho que la construcción de un modelo semejante es uno de los procedimientos más frecuentes adoptado por las ciencias de la naturaleza; añadimos que la construcción de un modelo imaginario es muy natural porque la imaginación es una facultad cuya aportación es útil para la comprensión de la naturaleza de las cosas materiales; el modelo imaginado se vuelve por lo tanto el fundamento de las hipótesis que se formulan para explicar la naturaleza de las cosas materiales. Es por tanto necesario recordar que las hipótesis, como tales, consideran propiedades que no son directamente verificables, es decir, no son objeto de observación.
Solamente las consecuencias deducidas de aquellas hipótesis pueden ser objeto de observación y verificación; es aquí donde encaja toda la metodología codificada por la filosofía científica de hoy, metodología que pudiera ser expuesta apresuradamente diciendo que cada observación coherente con las consecuencias de una determinada hipótesis no constituye demostración de la validez absoluta de la hipótesis misma, porque también otra hipótesis, a lo mejor también totalmente diferente de la primera, podría tener las mismas consecuencias de aquella. En cambio, cada observación que contradiga las consecuencias de las hipótesis provoca la demolición de éstas.
Obviamente estas rudimentarias enunciaciones retratan solamente una situación esquemática y abstracta; en la realidad concreta la adopción de los métodos cuantitativos, por la descripción de la realidad y por la formulación de las hipótesis, siempre hace posible la existencia de márgenes de aproximación y errores de medida. Por ello se titubea a menudo a abandonar un modelo explicativo de la realidad, aun cuando sus consecuencias no estén completamente de acuerdo con la observación y se atribuye el desacuerdo a errores de observación o bien a inevitables aproximaciones de las observaciones iniciales.
Sin embargo la construcción de modelos ha permitido establecer muchas leyes fundamentales de la naturaleza, aunque a menudo también, en cierta medida, ha detenido la búsqueda al encaminar hacia vías que no llevan a la verdad.
Los ejemplos, a propósito de esto que afirmamos, abundan en cada rama de la ciencia; pensemos en el modelo proporcionado por la teoría cinética de los gases, descrito anteriormente. Imaginemos un gas puesto en un cilindro cerrado con un pistón movible; el modelo explica la presión sobre el pistón imaginando las moléculas en movimiento rápido que chocan de tanto en tanto contra el pistón, rebotando elásticamente de modo que el resultado de estos choques se manifiesta como la presión ejercida por el gas contra el pistón.
Ahora imaginemos que desplazamos el pistón, de modo que el volumen del recipiente sea reducido por ejemplo a la mitad, manteniendo siempre el gas a la misma temperatura; un cálculo inmediato nos lleva a concluir que los choques de las moléculas contra el pistón duplicarán su número en el mismo período de tiempo y por lo tanto también duplicará la presión que es la manifestación de estos choques.
Se consigue así la explicación expresada matemáticamente con la Ley de Boyle (1627-1691) y Mariotte (1620-1684):
presión • volumen = constante.
Sin embargo, también se sabe que esta ley resulta ser solamente una primera aproximación al comportamiento de un gas; en efecto, a medida que las mediciones se hacen más precisas y los experimentos se multiplican, casi todos se alejaron de esta ley que, por lo tanto, resulta válida solamente para los llamados gases "ideales" o gases perfectos, monoatómicos.
Por lo tanto, para poder describir de modo más exacto el comportamiento de un gas, se dieron retoques a la ley enunciada, llegando así a escribir una ley que es representada, en un diagrama cartesiano, con las habitualmente llamadas (curvas) isotermas de los gases "reales."
Indicando, respectivamente, con p y V la presión y el volumen de un gas, con T la temperatura absoluta y con R una constante válida por todos los gases, e indicando por fin con a y b dos constantes características de cada gas, las isotermas son representadas por ecuaciones del tipo:
// (V - b) (p + a/V) = R T
Es interesante sin embargo observar que la relación anterior no representa el comportamiento del gas para cada valor de p y V. En efecto, cuando el gas tiene una temperatura bastante baja, inferior a una temperatura llamada "crítica", su comportamiento, al disminuir el volumen, sigue solamente esta ley hasta que se haya alcanzado un determinado valor de la presión; alcanzado este valor empieza la licuefacción del gas, fenómeno que continúa a volumen constante hasta que se haya completado. Existen por tanto, sobre cada isoterma, ciertos puntos, llamados "puntos críticos", respecto de los cuales, el fenómeno que se considera cambia radicalmente de naturaleza con respecto a nuestras expectativas basadas en la imaginación, y por lo tanto es descrito con fórmulas matemáticas diferentes para las que valen otros valores de los parámetros considerados.
Este ejemplo concerniente a la teoría cinética clásica de los gases, nos parece paradigmático con respetos a los procedimientos que son seguidos para la construcción de muchas teorías físico-matemáticas de la naturaleza. Un procedimiento semejante podría ser descrito diciendo que, partiendo de ciertas observaciones, se trata de imaginar una estructura que las justifica, y de esta estructura imaginada se trata de sacar el mayor número posible de consecuencias que se puedan averiguar con sucesivas observaciones.
Como se sabe, casi nunca ocurre que estas últimas confirmen plenamente las consecuencias que resultan de la estructura imaginada; entonces hay que retocar, tratando de variar lo menos posible, para adherir lo mejor posible a la realidad que se observa.
Por ejemplo, en el caso de la teoría cinética de los gases, los términos adicionales que aparecen en la segunda ley con respecto a la primera han sido introducidos para tratar de tener en cuenta el volumen propio de las moléculas, y para tener también en cuenta el hecho de que entre dos moléculas cualesquiera también pueden manifestarse fuerzas de atracción newtoniana. Se trata de un continuo trabajo de retoque y observación, que desemboca a menudo en el abandono del esquema primeramente imaginado, pues es considerado no suficientemente satisfactorio para la explicación de todos los fenómenos que poco a poco son descubiertos. Ha sido éste, por ejemplo, el caso del modelo del Átomo de Bohr, que ha debido ser abandonado por insuficiente para explicar los fenómenos nuevos que se descubrieron.
Sin embargo, a menudo la construcción de una nueva teoría, todavía hoy se hace siguiendo los esquemas que hemos presentado, es decir, imaginando estructuras materiales no directamente observables que permitan expresar ciertas relaciones cuantitativas que se traducen en hipótesis y deducir consecuencias observables.

El modelo matemático

Las observaciones hasta ahora expuestas nos encaminan a la presentación de un tercer tipo de modelo llamado sencillamente "modelo matemático". En efecto, debido a los peligros y los límites que se encuentran en los modelos basados sobre estructuras imaginadas, se tiende a considerar directamente un sistema de relaciones matemáticas como reproducción de la realidad, o mejor, de aquellos aspectos de ésta que interesan de cuando en cuando a la búsqueda científica. Las relaciones matemáticas en cuestión pueden ser ecuaciones o desigualdades u otros conjuntos de símbolos que hacen que sea posible realizar una deducción formal en virtud de las solas leyes sintácticas de los símbolos adoptados.
La actitud que conduce a construir modelos de este tipo es bastante típico en la termodinámica; en realidad en este capítulo de la física se trata siempre de abandonar lo más posible los esquemas imaginados, del tipo de aquellos relativos a la teoría cinética de los gases de los que ya hemos hablado, y se tiende en cambio a establecer directamente las relaciones cuantitativas entre los estímulos que nosotros practicamos sobre un sistema físico y las respuestas que éste provee, sin pretender imaginar los mecanismos interiores que provocan estas respuestas.
Se suele decir a menudo que el sistema se considera como una "caja negra", al interior de la cual no pretendemos penetrar, sólo limitándonos a registrar lo que entra y lo que sale de la caja. Obviamente, esta actitud se basa en una hipótesis tácita, que podría ser formulada diciendo que se supone una cierta coherencia del sistema en responder a los estímulos; coherencia que es el obvio fundamento sobre lo que se basa el empleo de los instrumentos de las matemáticas.
La termodinámica no es el único capítulo de la física en el que se asume una actitud de este tipo: se podría decir que las clásicas ecuaciones de James C. Maxwell (1831-1879) sobre el electromagnetismo constituyen una superación de las explicaciones de los fenómenos electromagnéticos que se intentaron antes para tratar de reducir éstos al comportamiento imaginado de algunos entes materiales.
Consideraciones análogas se pueden hacer para las ecuaciones de la mecánica cuántica, por ejemplo, para las clásicas ecuaciones de Schrödinger. Es sabido que la mecánica de los cuantos ha tenido que renunciar a representar el comportamiento de las partículas subatómicas con las extrapolaciones que la imaginación suponía sobre el comportamiento de los cuerpos de pequeña dimensión, en efecto, los dos caracteres corpusculares y ondulatorio son inseparables y no son fácilmente imaginables conjuntamente.
Sin embargo, las ecuaciones matemáticas describen de modo satisfactorio el comportamiento de la materia a nivel subatómico: lo que significa que podemos aceptar la hipótesis que la naturaleza es coherente y que sus propiedades son descritas con instrumentos lingüísticos y formales como en la matemática, renunciando a apoyarse en la imaginación para poder tener una representación a nosotros accesible de lo que ocurre.
Un caso bastante frecuente de modelos de este tercer tipo es el empleo de las matemáticas en las ciencias humanas, en particular en la economía. En este caso la tentativa de imaginar sistemas materiales que puedan explicar de algún modo el comportamiento económico del individuo o de los grupos sociales está destinada al fracaso; se explica por tanto el hecho que en economía se llama sencillamente modelo a un sistema de ecuaciones o relaciones matemáticas que ligan aspectos mesurables o sólo cuantificables o simbólicos del comportamiento económico del hombre.
La consideración de los modelos matemáticos en economía es bastante útil para comprender el sentido y los límites de los instrumentos conceptuales que utilizamos para conocer la realidad.
Claro está que no es posible intentar describir de modo completo y exhaustivo todos los mínimos detalles de los hechos económicos, por consiguiente el investigador que intenta construir una teoría casi siempre está obligado a elegir entre una representación de la realidad que aparece rudimentaria, pero que se presta a una elaboración subsiguiente y también a desarrollos de cálculo que aptos a formular previsiones, aunque en amplia medida aproximada y una formulación menuda de los detalles, que sin embargo amenaza ser tan complicada que difícilmente se presta a deducciones claras y a subsiguientes elaboraciones numéricas. Además, los datos cuantitativos de salida son casi siempre deducidos por observaciones indirectas, de medidas extrapoladas y de estadísticas, lo que disminuye la esperanza de poder tratar estos fenómenos de modo análogo a los fenómenos de la física o a los datos de la técnica.

Otras realizaciones del concepto de modelo

Lo que hemos expuesto hasta ahora no agota todas las posibles realizaciones del concepto de modelo, tal como es concebido en la ciencia. Se habla en efecto de modelos también en otros contextos que nos parecen interesantes por varias razones.
Estos contextos se refieren a la compleja problemática relativa a los fundamentos de la matemática o de sus particulares ramas. Sabemos en efecto que después de la revisión crítica de la matemática iniciada en el siglo pasado y todavía en pleno desarrollo, se ha difundido una especie de paradigma ideal de teoría. En este orden de ideas cada construcción teórica debería empezar con la enumeración de axiomas, es decir, de proposiciones no demostrables y continuar con demostraciones rigurosas a partir solamente de los axiomas enunciados.
Este paradigma ideal de teoría recuerda lo que Bertrand Russell, 1872-1970, decía paradójicamente de la matemática, afirmando que ella es una ciencia de la que no se sabe de qué habla y no se sabe si lo que se dice es verdadero.
Este enunciado es obviamente paradójico, pero pone en evidencia el carácter de abstracción y de generalidad de las formulaciones matemáticas, lo que no hace referencia a una única realidad que debería proveer su contenido - no se sabe de qué habla, decía Russell- pues su validez se basa solamente en el correcto empleo de las leyes de deducción y no sobre la correspondencia de los enunciados a una realidad material fuera de nosotros - no se sabe si lo que se dice es verdadero, afirmaba Russell.
Esta condición de extrema abstracción de las formulaciones matemáticas es garantía por un lado de su generalidad y por el otro del rigor de la deducción, en efecto, es posible dominar con una única fórmula todas las realidades concretas que son descritas por los axiomas de una determinada teoría y por otro lado la deducción, ejecutada a nivel totalmente abstracto, no amenaza ser desviada por las sugestiones que nacen de las referencias a particulares significados o contenidos de los símbolos.
Existe sin embargo un problema que podría ser formulado diciendo que los postulados de una teoría abstracta deben necesariamente constituir un conjunto compatible eximido de contradicciones internas. No basta, en efecto, una simple inspección inicial que no ponga en evidencia contradicciones patentes para garantizar la compatibilidad del sistema; en efecto, la contradicción podría estar escondida y podría revelarse solamente después de un cierto número de deducciones. Resultaría de aquí la no consistencia de la teoría que se construye porque, como ya la lógica clásica enunció, de premisas falsas se puede deducir cualquier consecuencia, incluso por ejemplo, la negación de las mismas premisas.
Una mirada cercana a las consideraciones que estamos desarrollando fueron la base de la célebre disertación con la que Girolamo Saccheri (1667-1733) trató de demostrar como absurdo el postulado euclidiano de la paralela; él, en efecto, enunció que la hipótesis no estaba visiblemente en contradicción con los demás postulados, pero trató de poner en evidencia lo que él suponía que era la contradicción escondida, deduciendo consecuencias de las premisas de modo tal de poder llegar a lo que él consideraba un absurdo.
Está claro, que esto de lo que estamos hablando, es uno de los más importantes problemas de los fundamentos de la matemática. No nos parece éste sea el lugar para profundizar tal género de cuestiones que son notablemente complejas, nos limitamos por tanto a decir que una de las vías más comúnmente seguidas para enseñar la consistencia de un sistema de postulados es la que conduce a exhibir un conjunto de declaraciones que satisfagan los postulados mismos. Se suele decir que un conjunto de declaraciones semejantes constituyen un modelo de la teoría, queriendo así indicar una realización, entre las muchas posible en línea de principio, de la teoría misma.
Como se ve, este procedimiento fue seguido por Eugenio Beltrami (1835-1900) quien construyó, con los instrumentos de la geometría diferencial, un modelo de geometría no euclidiana, demostrando así que los postulados de esta última son compatibles, y por consiguiente, demostrando también que el postulado euclidiano de la paralela no puede ser demostrado a partir de aquellos que lo precedieron en la disertación clásica. Incluso también es conocido que han aparecido otros modelos de geometría no-euclidiana, por ejemplo, el basado en la geometría proyectiva.
Análogo procedimiento sigue, por ejemplo, David Hilbert (1862-1943) en sus Fundamentos de Geometría, exhibiendo poco a poco modelos de sus sistemas de postulados construidos con elementos de ciertos campos numéricos.
Una reflexión posterior podría llevar a observar que este procedimiento se basa sustancialmente en la presunción que la realidad, de la que tomamos los elementos para construir los modelos, sea coherente en sí misma. Si luego estos elementos son tomados por otras áreas de las matemáticas, está claro que de este modo viene presumida la coherencia de las áreas mismas.
Por lo tanto, la solución al problema de compatibilidad que se presenta es solamente parcial y, por así decirlo, provisional. Esto, por lo menos, indica una sustancial unidad de la problemática de la ciencia, unidad que reconduce en todo caso a los problemas fundamentales de la estructura y el significado de nuestro conocimiento.

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