El razonar matemático
autor: Marco Bramanti
fecha: 2011-07-14
fuente: Il ragionare matematico
traducción: María Eugenia Flores Luna

Contribución al curso del proyecto “Academia”, escuela de alta formación interdisciplinaria para docentes de los colegios, de la Fundación por la Subsidiariedad, publicado en el volumen homónimo por Eddo Rigotti y Carlo Wolfsgruber, desarrollado en Milán del 14 al 17 de julio de 2011

Qué es el razonamiento matemático - Qué es la matemática

Decir qué es el razonamiento matemático no es muy diferente de decir qué es la matemática: en efecto, quién ha probado a decir qué es normalmente la matemática ha definido el método, el modo de razonar. Por ejemplo: “La matemática pura es la clase de todas las proposiciones de la forma ‘p implica q’ […]” (Russell 1989).
Curiosamente, y diferente, por ejemplo, de la química, de la biología, de la historia, la matemática no es definida de modo natural por los objetos que estudia. Podemos decir que la biología es la ciencia que estudia los seres vivientes o la química la ciencia que estudia las transformaciones de las sustancias, la historia la disciplina que estudia los hechos humanos del pasado…, pero ¿la matemática de qué se ocupa? Quizás ¿la matemática es “la ciencia de los números”?. Esto no es verdad más de lo que no lo sea la afirmación “la arquitectura es la ciencia que estudia los ladrillos” o “la pintura es la disciplina que estudia los barnices”. Se puede decir más bien que la matemática es definida por su modo de proceder.

Características de base del razonar matemático

El razonamiento matemático es típicamente un razonamiento hipotético deductivo: “si, entonces”.
La matemática establece nexos necesarios entre propiedades, verdades lógicamente necesarias. Cuando decimos: “En un triángulo, la suma de los ángulos interiores da 180°”, afirmamos que en cualquier triángulo, necesariamente, vale esta propiedad. No es por lo tanto una verdad contingente, establecida por constatación empírica, constatación que sería imposible efectuar en los infinitos casos existentes. Es una verdad necesaria, establecida a priori de la observación o de la experiencia, por necesidad lógica: de nuestra definición de triángulo y de los primeros principios de la geometría desciende deductivamente este hecho.

Establecer de una vez por todas, verdades necesarias es uno de los elementos de atractivo de las matemáticas. Recalcamos: lo que es establecido no es la verdad aislada de una propiedad, sino más bien el nexo, la implicación entre dos propiedades: si - entonces. Si esta figura es un triángulo plano, entonces…
En este sentido hipotético-deductivo, la matemática también se aplica al mundo físico: si realizamos un triángulo con un contrachapado, si aquel es plano, entonces puedo afirmar que la suma de los ángulos interiores será de 180°: no es posible construir uno en que la suma de los ángulos haga 200°; si físicamente es un triángulo y es plano, necesariamente la suma de los ángulos interiores es de 180°, inútil buscar expedientes artesanales para violar esta ley: ya sé que es imposible.

Notamos que la aplicación de las matemáticas a la realidad física solicita un elemento ulterior que es un acto de juicio: yo juzgo que aquel tallo en el contrachapado sea un triángulo, y que el contrachapado sea plano, no curvo. Éste es un juicio sobre la realidad física, ya no es una deducción. Es importante tener presente este aspecto cuando se enseñan las ciencias, también utilizando instrumentos matemáticos: hace falta distinguir los roles de observación experimental, el juicio sobre la realidad, la deducción matemática. Este acercarse a la deducción matemática de juicios sobre la realidad y observación de la realidad, introduce un elemento de contingencia y también, en cierto sentido, de incertidumbre, en las afirmaciones científicas, o en todo caso empíricas, que las matemáticas contribuyen a establecer, lo que hacía ya decir a Einstein: “Desde cuando nuestras leyes de las matemáticas se refieren a la realidad, ellas no están seguras; y hasta cuando están seguras, no se refieren a la realidad”. (Einstein 2010)

Pero continuamos en el hilo principal del discurso acerca del método de las matemáticas, y nos preguntamos: ¿ cómo establecen las matemáticas la verdad de cierta implicación, de cierto teorema? A través de la demostración. Se puede hacer coincidir la invención de las matemáticas con la invención de la demostración. Nosotros sabemos que el teorema de Pitágoras como elemento de conocimiento, como enunciado, a lo mejor en algún caso particular suyo, es conocido desde milenios, pero digamos que la matemática, como la entendemos, nace en Grecia entre el VI y el III siglo A.C. porque aquel es el contexto en que nace la demostración. Creemos que Pitágoras ha sido el primero en demostrar su teorema, y sabemos por cierto que Euclides ha hecho una demostración, insertando aquel teorema en el cuerpo de una teoría, un entero sistema, un gran diseño en que paso a paso de los primeros principios se deducen poco a poco las consecuencias.

¿Ahora, como ocurre la demostración? ¿Cómo podemos mostrar que en todos los infinitos triángulos rectángulos vale cierta propiedad? No explorando cada triángulo, sino más bien ejecutando un razonamiento que sea válido para un triángulo rectángulo genérico; para un triángulo rectángulo cualquiera, es decir: para un objeto que se supone únicamente satisface aquellas (pocas), propiedades que definen el concepto de triángulo rectángulo. Cualquier triángulo rectángulo concreto tendrá algunas propiedades especiales, pero en los pasos del razonamiento nosotros sólo nos apoyamos en las que valen para cada uno de ellos. Esta universalidad es hecha posible por la abstracción: el concepto de triángulo rectángulo es abstracto, ha sido definido aislando pocas propiedades, comunes a todos los triángulos rectángulos concretos. Notamos por lo tanto que aquel aspecto característico, potente, de la demostración o sea la posibilidad de establecer para siempre y más allá de cada razonable duda, con un razonamiento de un número finito de pasos, lo que una vida entera no bastaría para averiguar empíricamente caso por caso, es hecha posible por la naturaleza abstracta de los objetos matemáticos, definidos por pocas propiedades abstractas.

Recogemos de este veloz primer análisis algunos puntos firmes:
- normalmente la matemática no se ocupa de objetos individuales, sino de totalidad de objetos, conjuntos, (a menudo infinitos) de objetos (por ejemplo los triángulos);
- objetos de cierto tipo son definidos abstractamente mediante (generalmente pocas) propiedades abstractas comunes;
- la demostración de una “implicación universal” (“Para cada objeto de tipo x, si vale la propiedad p entonces vale la propiedad q”) es realizada considerando el objeto genérico de tipo x que satisface la propiedad p, y deduciendo de esto que debe necesariamente valer la propiedad q.

Luego podríamos probar a decir de qué, en general, se ocupa, o mejor se puede ocupar, la matemática como disciplina, e intentar así dar una definición de matemáticas que comunique algo tanto del método como del contenido: la matemática es la disciplina que estudia las clases de objetos que es posible definir (completamente) precisando (pocas) propiedades abstractas. Entorno a estos objetos establece, mediante demostración lógica, verdades necesarias, generalmente expresadas por implicaciones entre propiedades.
En su vaguedad, esta definición creo que comunique algo de las características importantes de las matemáticas, y delimita un poco el campo. Es verdad que no se dice aquí que la matemática habla de números, o de triángulos, o de funciones, en efecto en cierto sentido la matemática podría hablar de cualquier cosa. Pero, efectivamente, el conjunto de todos los triángulos se puede definir completamente con pocas propiedades abstractas, el conjunto de todos los caballos no, y en efecto la matemática no tiene teoremas sobre los caballos.

Nota bien: se puede objetar la última afirmación hecha (la matemática no tiene teoremas sobre los caballos) diciendo que efectivamente nosotros podemos aplicar teoremas matemáticos también a objetos concretos; cuando hacemos eso, en cambio, valen las advertencias hechas ya al margen de la incertidumbre que queda, por lo cual en práctica nuestras afirmaciones no son válidas de modo tan universal y a priori. Además, cuando aplicamos un resultado abstracto a una cosa concreta, no estamos considerando la cosa concreta en todos sus aspectos; más bien, usando el punto de vista específico de las matemáticas, estamos tallando en la cosa concreta un objeto abstracto, que lee sólo algunas de las características de aquella cosa concreta, prescindiendo de todas las otras.

Por cuanto concierne al uso que he hecho del término verdad (en decir que la matemática establece verdades necesarias alrededor de los propios objetos), si es claro el contexto en que nos estamos colocando (proposiciones verdaderas en el sentido de la lógica deductiva, con respecto a objetos definidos de modo abstracto), esto creo no debería despertar particulares problemas o tergiversaciones. El problema de qué signifique verdad en matemáticas emerge cuando se discute sus fundamentos, menos cuando se discute de su práctica cotidiana. Creo que a menudo los problemas que surgen alrededor de la afirmación de la verdad de las proposiciones matemáticas nazcan, efectivamente, de la poca claridad sobre otro aspecto, que es aquel de la relación matemáticas-realidad, y del valor cognoscitivo de las matemáticas, al cual ahora dedicamos un poco de atención.

Matemáticas y conocimiento

Cuanto hemos dicho sobre las características de las matemáticas como saber organizado, introduce de modo natural el tema del razonamiento matemático y, en particular, el tema del lenguaje, sobre el cual nos tendremos que detener. Pero, en lugar de entrar enseguida a este tema, abro aún un paréntesis para afrontar un tema que es vivido por muchos como una objeción al valor de las matemáticas, (pudiera ocurrir también a quien la enseña). Querría ahora documentar en que sentido la matemática es una forma de conocimiento de la realidad, respondiendo a algunas típicas objeciones que se hacen a esta tesis. Si esto no está ante todo claro a quien enseña matemáticas, y luego a quien la estudia, no puede haber una verdadera consideración de esta disciplina, y por lo tanto una consideración del valor que tiene el empeñar nuestra razón en las matemáticas.
Si fuera así cualquier discurso sobre el razonamiento matemático se reduciría a una serie de consejos sobre cómo adiestrar bien ciertas habilidades. Sólo a veces estas objeciones son hechas de modo explícito; más a menudo quedan implícitas, como incrustaciones de prejuicios que no son nunca puestos en discusión.

Saber hipotético deductivo y conocimiento

La primera objeción se puede expresar así: un saber hipotético-deductivo (como es la matemática) ¿puede ser conocimiento?
A su vez, esta objeción tiene dos aspectos diferentes, se detalla en dos objeciones:
La primera: Si tus conclusiones sólo son desarrollo lógico de lo contenido en las premisas, al final - en el fondo - no tienes nada nuevo.

Ésta es una objeción tanto común cuanto superficial; una objeción que está de veras fuera de la realidad. Nosotros no somos seres superiores que ven a simple vista todas las consecuencias de las premisas. Sacar las consecuencias de las premisas para nosotros puede ser el trabajo pesado de una vida.
Ir de la observación de la bola que rueda sobre el plano inclinado al lanzamiento de una astronave ¿es poca cosa? ¿O de los axiomas de los números naturales a la demostración del último teorema de Fermat, que ha requerido 300 años de esfuerzos? Si, después de haber hecho un poco de este trabajo, miras atrás, ves que antes no sabías que ciertas premisas tienen ciertas consecuencias, ahora lo sabes. Si antes no lo sabías y ahora lo sabes, tu conocimiento ha aumentado. Luego el método hipotético-deductivo es un método de conocimiento.

La segunda objeción dirigida a las matemáticas como saber hipotético-deductivo es la siguiente: Si estableces sólo nexos lógicos, de las verdades hipotéticas, en el fondo no concluyes nunca la verdad de nada. Cierto, decir: “Si vale esto, entonces vale aquello”, abre obviamente el problema de cuáles son las premisas de las cuales partir, visto que no podemos remontarnos al infinito en nuestras deducciones. Ésta es una objeción más seria, que lleva a la eterna discusión: ¿nuestras premisas son verdades evidentes o son meras convenciones? Todavía recomiendo a Agazzi 1961 y Bramanti 1991 para un ahondamiento de estos temas, y me limito aquí a alguna observación.
Efectivamente ha habido una evolución histórica de nuestro modo de concebir el rol de las premisas en las matemáticas. Si para Euclides, hace 2300 años, las premisas del discurso (axiomas o postulados) eran verdades evidentes, a partir del siglo XIX, antes bajo el influjo del descubrimiento de las geometrías no euclidianas y luego por otros varios factores, se inició a subrayar el rol de las premisas como puras y simples “reglas de juego”, objeto de convención. Atención a no entender demasiado apresuradamente este viraje como el arribo a una posición relativista. El punto de vista contemporáneo reconoce que vivimos en un mundo complejo, en el cual, según como es el trozo de realidad que nos interesa estudiar y el punto de vista del que nos interesa estudiarlo, tenemos que elegir oportunamente las premisas de la teoría. Lo que del punto de vista formal es “sólo un convenio”, desde el punto de vista de la relación entre la teoría y la realidad es en cambio objeto de observación, reflexión, valoración y elección. Y eso, si queremos, siempre ha sido verdadero.

La novedad que los tiempos modernos han traído es el subrayado del hecho que esta elección no se hace una sola vez, sino caso por caso: si quiero estudiar la geometría de las figuras diseñadas sobre la superficie de la esfera, las premisas serán diferentes de las que haría para estudiar las figuras diseñadas en el plano: en el primer caso el 5° axioma de Euclides no vale, la suma de los ángulos internos de un triángulo no hace 180° sino más, el teorema de Pitágoras no vale, etc. Un gran cambio de perspectiva, cierto, pero no el derrumbamiento de cada certeza o similares.
El método hipotético-deductivo de las matemáticas revela históricamente su potencia en la comprensión de la realidad física cuando, a partir del 1700 y hoy más que nunca, se une a la ciencia moderna, matematizada. La elección, en su momento, de las premisas válidas, se convierte en el modelado matemático de los conceptos y fenómenos físicos. Esta elección es un ejercicio de juicio cumplido por el científico que aplica las matemáticas. La historia demuestra que nuestro “ejercicio de juicio” ha sido y es extremadamente útil a la descripción, comprensión y previsión de los fenómenos. La matemática, unida a la observación de la realidad, ha demostrado ofrecer un muy potente instrumento de conocimiento de la realidad, también física.

Lo que emerge, estando frente a la historia de las matemáticas y la ciencia, es aquella sorprendente eficacia de las matemáticas en la comprensión del mundo físico, de cual tantos autores se han asombrado justamente. Al estupor de muchos, Benedicto XVI ha añadido un comentario profundo, que ha estado entre las ideas iniciales que han puesto en marcha la muestra sobre las matemáticas en el Meeting de Rímini 2010 (cfr. Aa.Vv 2010): “Una característica fundamental de las ciencias modernas es el empleo sistemático de los instrumentos de las matemáticas para poder operar con la naturaleza. La matemática como tal es una creación de nuestra inteligencia: la correspondencia entre sus estructuras y las estructuras reales del universo suscita nuestra admiración y pone una gran pregunta. Implica en efecto que el universo mismo sea estructurado de manera inteligente, de modo que exista una correspondencia profunda entre nuestra razón subjetiva y la razón objetivada en la naturaleza. Es entonces inevitable preguntarse si no tenga que haber una única inteligencia originaria, que sea la fuente común de una y de la otra. Así justo la reflexión sobre el desarrollo de las ciencias nos conduce hacia el Logos creador.
Se vuelca la tendencia a dar la primacía a lo irracional, a la casualidad y a la necesidad, a guiar hacia ello también nuestra inteligencia y nuestra libertad”, (Benedicto XVI 2006).
El carácter hipotético-deductivo de las matemáticas por lo tanto no le quita para nada su valor cognoscitivo aun hacia la realidad física.

Abstracción y conocimiento

Cuanto dicho hasta aquí también responde a otra objeción frecuente que se hace al valor cognoscitivo de las matemáticas, objeción basada en el aspecto de la abstracción matemática: ”Tú no hablas de la realidad, te ocupas de cosas abstractas”. Por lo tanto, ¿cómo puede ser conocimiento un discurso que no habla de la realidad?
Hemos visto cómo la abstracción sea una característica de los objetos matemáticos que hace posible el establecer verdades necesarias alrededor de ellos (es un punto de fuerza de su método). En segundo lugar, la abstracción matemática es una lectura sintética de la realidad concreta, una mirada que capta los aspectos intensamente comunes presentes en tantas realidades concretas. Y ésta es una forma de comprensión y conocimiento de la realidad, que ocurre en matemáticas como en cada otra disciplina del pensamiento, porque en cada ámbito del conocimiento la razón no da muchos pasos sin usar también categorías abstractas. En este sentido también podemos decir que la abstracción es un punto de vista, un punto de observación sobre la realidad concreta, no una negación de la realidad concreta o un desinterés por ella.

Por fin, hemos visto cómo la abstracción matemática, unida a la observación de la realidad y a la reflexión científica, permita una potente forma de conocimiento, comprensión, previsión y manipulación de la realidad física.
Hemos dicho que el uso de la abstracción es una forma de conocimiento de la realidad que practicamos en cada disciplina: las categorías históricas o políticas, o literarias, que usamos en estas disciplinas no son “menos abstractas” que las categorías matemáticas, son más bien tipos diferentes de abstracción. No tiene sentido, por lo tanto, justificar la propia frialdad respecto a las matemáticas “porque es abstracta”: utilizamos continuamente abstracciones en nuestro conocimiento de la realidad. Comprender mejor algunos conceptos abstractos y sus relaciones es conocimiento, no menos que conocer los tornillos y las tuercas. Se dice entonces: sí, pero la abstracción de algunos conceptos históricos, políticos etc. sirve a entender la realidad, tiene que ver con la realidad de todos los días. ¿Y la abstracción matemática no? Es la base de infinitas aplicaciones científicas y técnicas, sin las cuales no usaríamos el celular, no escucharíamos música, no mandaríamos una mail, no nos desplazaríamos si no a pie. Y está es la base de tantos aspectos de nuestra percepción de la realidad (espacio, tiempo, relaciones…).

Razonamiento matemático y lenguaje

Hemos hecho un discurso sobre la naturaleza del método matemático ante todo para iniciar a colocarlo en el contexto más amplio de la razón, para dar alguna idea para comprender el rol de las matemáticas en el complejo del conocimiento y la relación con otras formas de conocimiento y de razonamiento. Continuando en esta línea llegamos a una observación que introduce otro tema.
“La matemática – observa Alfred Whitehead - como ciencia inició cuando alguien, probablemente un griego, demostró proposiciones concernientes a ‘cualquier’ cosa o concernientes ‘al menos a una’ cosa, sin precisar objetos particulares”.
El hecho de que la matemática se ocupe principalmente de conjuntos de objetos en vez de objetos individuales, introduce enseguida una especificidad del razonamiento matemático con respecto al razonamiento común. En el lenguaje común es normal hacer afirmaciones alrededor de objetos individuales, por ejemplo aquella ventana. Puedo decir que aquella ventana está abierta o está cerrada. Pero si yo pregunto: “¿Las ventanas de esta habitación están abiertas o cerradas?”, las respuestas posibles ya no son sólo dos: “Todas las ventanas están abiertas”; “Al menos una ventana está abierta”; “Ninguna ventana está abierta”. Ésta es la situación más común en el razonamiento matemático: “Para cada x vale la propiedad p(x)”; “Existe al menos una x para la que vale la propiedad p(x)”; “Para cada x no vale la propiedad p(x)”. No que estas cosas no puedan entrar también en los razonamientos de la vida cotidiana, sino en matemáticas ocurren mucho más a menudo.

Usamos continuamente los cuantificadores “existe”, “para cada”, y ésta es una dificultad específica del razonamiento matemático. Dicho con lenguaje lógico: en los razonamientos cotidianos, utilizamos a menudo aquellas que la lógica llama “proposiciones atómicas” como “esta ventana está abierta”. En matemáticas se usan poco (un ejemplo es: “el número 5 es impar”; no decimos a menudo frases tan simples); las proposiciones matemáticas normalmente son conseguidas utilizando propiedades que contienen variables: la proposición “Todas las ventanas de esta habitación están abiertas” tiene la estructura lógica “Para cada ventana x de esta habitación, x está abierta”, es decir “para cada x en el conjunto S, vale la propiedad p(x)”. Como bien ha evidenciado Bertrand Russell, la noción de variable es la verdadera reina de la lógica matemática, y de la matemática misma.

La centralidad de la lógica predicativa (la que usa propiedades, contenidos variables) es una dificultad (y no sólo una característica) del razonamiento matemático, sea porque está claro que nos resulta más difícil algo al cual estamos menos acostumbrados para la vida de todos los días, sea porque la lógica predicativa es intrínsecamente más sutil que la lógica proposicional en cuanto tiene que ver con los conjuntos infinitos. En efecto Hermann Weyl llama lógica finita a la lógica preposicional, y lógica transfinita a la lógica predicativa. Se puede decir que el infinito entre constitutivamente en las matemáticas, antes que con el reconocimiento explícito y consciente de la importancia, en la práctica matemática, de los procedimientos infinitos o de los conjuntos infinitos, a través del infinito de la generalidad, el infinito del “para cada”. Weyl aún dice que la matemática se puede definir como “ciencia de lo infinito”.
Tal como hablar de qué es la matemática nos ha llevado enseguida a hablar del método matemático, del razonamiento matemático, hemos visto que hablar de razonamiento matemático nos conduce inexorablemente a hablar del lenguaje lógico-matemático: proposiciones, propiedades, variables, cuantificadores. Weyl escribe: “La lógica es la higiene que el matemático usa para hacer que sus ideas queden sanas y robustas” (Weyl 2009).

Se entiende del discurso anterior cómo el razonamiento matemático solicite una atención lógica al lenguaje. Utilizar correctamente los cuantificadores, no dejarlos implícitos (a lo mejor en el artículo indeterminado “un”) usar de modo no ambiguo la “o” (¿exclusiva o no exclusiva?), construir correctamente la negación de una proposición, comprender qué afirma una implicación y qué exactamente es incompatible con ella etc. son elementos necesarios para el razonamiento matemático. No son preliminares, a tratar en alguna lección introductora, en las primeras páginas de los libros de texto, sólo porque se usa hacer así, son el tejido de cada razonamiento matemático. Pero decimos algo más: el razonamiento matemático no sólo solicita una atención lógica al lenguaje; el razonamiento matemático se nutre de un amor por el lenguaje. Sin amor por el lenguaje, la matemática será siempre una desconocida. Un cierto uso de las palabras no nace del miedo al error (es decir del miedo a la “enfermedad”) sino del amor por el lenguaje, es decir por la verdad, por el conocimiento, y por la comunicación con otros seres humanos. Apreciar (y hacer apreciar) las diferencias específicas del lenguaje matemático con respecto a otros lenguajes de disciplinas es importante para aceptar, y (hacer aceptar) ciertos subrayados y atenciones no como una “deformación mental” sino como una justa adecuación del método al objeto de estudio. Apreciar un saber como aquel matemático, que atraviesa el tiempo y el espacio, con una tradición viviente que continúa después de 2500 años en todo el mundo, no es posible sin un interés a la comunicación entre las personas, un cuidado por el lenguaje escrito y hablado como condición necesaria para la comunicación entre las personas.

El lenguaje matemático y los lenguajes matemáticos específicos

Pero el lenguaje en matemáticas no es sólo un cierto uso de la lógica. Hay otro aspecto del lenguaje, directamente ligado a los contenidos matemáticos. Se puede decir más bien que la enseñanza de las matemáticas en la escuela, de la primaria a la secundaria, consista de manera importante en enseñar ciertos lenguajes específicos de las matemáticas:
- la escritura de los números;
- el lenguaje del álgebra, o del “cálculo literal”;
- la geometría analítica;
- el lenguaje de los conjuntos y las funciones
son ejemplos de lenguajes matemáticos específicos que constituyen una parte importante de la enseñanza de las matemáticas en la escuela. Por muchas veces en el arco de la edad escolar, el alumno es introducido a un nuevo lenguaje, con el cual afrontará un nuevo contexto. En cada uno de estos nuevos contextos a menudo no se llega lejos: grandes teorías, grandes teoremas, no se ven a menudo en la escuela, si se quita la geometría euclidiana y un poco de análisis matemático al final de la secundaria. Éste es uno de los motivos por el cual la matemática de la escuela a menudo es asociada a hacer ejercicios, a los aspectos de los procedimientos, de técnicas, fórmulas etc; más que al aspecto de teoría hipotética deductiva hecha de definiciones, teoremas, demostraciones. Ciertamente un mayor peso, en la matemática escolástica, del aspecto hipotético deductivo (definiciones, teoremas, demostraciones), no podría más que favorecer sea a la educación del razonamiento en los chicos, sea a la reputación de las matemáticas entre ellos, o al menos entre los más intelectualmente listos de ellos. Pero también hace falta entender y valorizar hasta el final el rol de los varios lenguajes matemáticos específicos que son enseñados en la escuela, para apreciar el hecho que enseñar y aprender estos lenguajes es mucho más que un adiestramiento técnico.

Por ejemplo tomemos el lenguaje algebraico, del cálculo literal: el concepto de incógnita, la idea de formalizar un problema a través de una ecuación, la escritura simbólica y el “cálculo literal”…
Si reflexionamos en estas ideas, a lo mejor también teniendo una idea de la fatiga con que históricamente han emergido en el arco de los siglos (la historia de las matemáticas no es un opcional para pocos curiosos: un mínimo de historia de las ideas debería ser conocida al menos por quien enseña matemáticas, si queremos tener conciencia de la originalidad de ciertas ideas y de las dificultades con las cuales se ha llegado a ellas), vemos que el lenguaje matemático no es simplemente un modo para comunicar ciertas ideas, sino es ese mismo el lugar en que residen ciertas ideas. El lenguaje incorpora en sí mismo progresos, ideas, juicios, abstracciones fruto de una larga historia. Por ejemplo, cuando ciertos problemas formulados en el lenguaje cotidiano son formalizados con una simple ecuación de primer grado, nos parecen banales, muestran por sí mismos el camino para la propia solución. En realidad el problema no puede ser considerado banal de por sí; más bien, se puede decir que en aquel caso el lenguaje se ha cargado la mayor parte del trabajo necesario para solucionar el problema. Decir esto no es como decir que la fatiga la ha hecho la pizarra o el lapicero: “el lenguaje” no es algo impersonal, es uno de los frutos de 2500 años de historia y tradición matemática. El lenguaje resume los progresos conceptuales de toda una historia, y nos hace ver las cosas “desde los hombros de los gigantes”. Pero si ha sido pesado llegar para la humanidad, si ha sido una conquista de siglos, será pesado aun hoy para quien lo encuentra por primera vez, y esto dice de la paciencia y prudencia que hace falta tener al enseñar estas cosas, y también de la gran dignidad que estas cosas tienen. ¡Más que “banales ecuaciones de primer grado”!

Momentos del razonamiento matemático

Ahora debemos examinar más de cerca el rol que tienen algunos elementos específicos del discurso matemático, que podemos ver como momentos diferentes del razonamiento matemático, o como los muchos tipos de texto que encontremos en las matemáticas. Cuatro aspectos significativos me parecen los siguientes: la definición; el teorema y la demostración; el ejemplo y el contraejemplo; el problema y el ejercicio.
Algunos de estos aspectos están ligados transversalmente aun al rol de la motivación en la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas, y de la relación con la realidad en el razonamiento matemático.

Una conclusión. ¿Se puede enseñar a razonar?

No sé si se puede, pero se debe. ¿Esto quiere decir que hay un método que garantiza que todos aprendan a razonar bien? Ciertamente no. Eso no depende sólo de nosotros. Pero no podemos usarla como excusa para no enseñar a razonar. Enseñar el método de cierta disciplina, solicita al profesor, ante todo, una conciencia del método mismo, que es algo más que el dominio del método. No basta que yo razone bien, hace falta que me haya hecho consciente de los modos, de las formas de mi razonar; hace falta una reflexión y una experiencia de introspección, cultivada por el placer de entender qué me ha servido a mí para entender, cuál era el origen de mi incomprensión, de mi error, qué me ayuda a hacer pasos veloces, qué me ralentiza. Hace falta luego la capacidad de identificación, el deseo y la atención de entender el razonamiento del otro, la fatiga ajena, el error o la tergiversación ajena, y qué en cambio ayuda a la persona que tengo delante a entender, qué la pone en movimiento. Todo esto es un trabajo que ocurre dentro del profesor, también en la relación con los alumnos. Luego está el trabajo que el profesor hace en aula, por lo tanto con los alumnos y el trabajo que solicita en los alumnos. Pienso que el método, el razonar, no se enseña exclusivamente dando buen ejemplo del “método en acción”; esto es necesario, lo piensan todos, a veces también puede ser suficiente, pero no es la única arma que tenemos. También tenemos la posibilidad de hacer un trabajo expresamente dirigido a ayudar a la afinación del método en quien tenemos enfrente; un tiempo expresamente dedicado a un trabajo sobre el método, sobre el razonamiento. Que no es un trabajo “preliminar” que se hace una vez por todas, y luego por fin se pasa más allá y se dedica a los contenidos; no son los preámbulos del curso. Puede tener una colocación natural, especial, al inicio de un curso, de un año, en el encuentro con una nueva clase, etc; pero luego es útil que continúe en dosis calibradas aun más adelante, de modo que el método sea puesto en juego sobre contenidos auténticos, no sobre los preámbulos. El libro Matemática. Cuestión de método (Bramanti y Travaglini 2009) es una tentativa de proveer un instrumento de trabajo dirigido específicamente a la educación del razonamiento matemático, dirigido a los estudiantes terminando la escuela superior con vista a la universidad. Es un instrumento concreto que indico, porque la recomendación a dedicar tiempo y energías a un ejercicio específico de educación al razonamiento matemático queda vacía, sin tener a disposición también un reservorio de ejemplos, ejercicios, observaciones, recorridos posibles.

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