Enseñar para educar. Alcance educativo de las matemáticas...
autor: Anna Paola Longo
Politécnico de Turín
fecha: 2011-04-01
fuente: Insegnare per educare. Valenze educative della matematica e delle discipline scientifiche (Enseñar para educar. Alcance educativo de las matemáticas y de las disciplinas científicas), Emmeciquadro, n. 43, 2011-04
traducción: María Eugenia Flores Luna

En la investigación didáctica se habla de mathematical education: producir una buena calidad de instrucción en matemáticas. ¿Hecho ciertamente muy importante, pero se puede ir más allá? ¿Es posible que la normal enseñanza de las matemáticas contribuya a la formación global de la persona? En general, en la escuela en el campo científico ¿existe la posibilidad de educar? ¿La contribución es idéntica para todas las disciplinas científicas o bien las aportaciones son diferentes? Y en particular, ¿cuál puede ser aquella de las matemáticas? El autor propone sobre este tema un plan de trabajo sintético, que los profesores podrán ampliar dotándolo de observaciones personales y de una rica documentación, según la edad de sus estudiantes.

Teniendo en cuenta los enlaces de las matemáticas con las otras disciplinas científicas, para valorar su impacto con las problemáticas educativas, es oportuno ampliar la mirada a todo el campo científico, aparentemente lejos de la subjetividad de la persona.
Ponemos enseguida una condición general: para que resulte formativa la enseñanza tiene que respetar sea la naturaleza de la disciplina científica que las exigencias educativas de quien aprende.
Las disciplinas científicas, incluida la matemáticas, son traicionadas a menudo en la escuela por interpretaciones que falsean su naturaleza. Análogamente, los alumnos no son vistos como personas que construyen desde el interior el propio saber, en el que la racionalidad está en continua interacción con la afectividad, con las preguntas sobre el sentido de la vida, del mundo, del saber. La posibilidad de educar, en cuanto propuesta de significados, no es automática para las disciplinas, sino depende de la intervención mediadora y crítica del profesor, de su cultura, de su humanidad, de su relación con los alumnos, de su capacidad de identificar significados en los aparatos técnicos. Como primer punto trataré de colocar las características de la matemáticas dentro del complejo de las disciplinas científicas proponiendo analogías y diferencias, sucesivamente trataré de poner algunas líneas de método para la enseñanza que tengan en cuenta sea el éxito formativo, sea el crecimiento de la personalidad de los alumnos.

El Método

Las disciplinas científicas educan no tanto por la cantidad de informaciones que transmiten, cuanto por el hecho de comunicar un método de investigación personal y dar los elementos de base para comprender el método y el lenguaje de la ciencia. Este resultado constituye una riqueza estable para los alumnos, porque lanza a la persona a la vida con un fuerte instrumento interpretativo de la realidad sea aquel de la naturaleza que el de la cultura y de las relaciones sociales.
Se puede hacer ciencia en la escuela comunicando una lista de resultados, o bien educando una mirada científica, es decir introduciendo a los alumnos a mirar la realidad con la curiosidad de conocer los fenómenos, sea para gozar su belleza, sea para poderlos controlar haciendo previsiones útiles. Hacer ciencia como ejercicio de memoria mecánica que no implica el yo, o bien como una serie de preguntas de un yo que se involucra en primera persona: dos posiciones contrastantes, de la que sólo la segunda aumenta el respeto y el estupor por la naturaleza, por la realidad, por sí mismos.
El dominio del método científico permite ponerse de modo crítico frente al abuso actual del lenguaje científico, a menudo debido a la tentativa de dar aspecto científico a hechos en los que se pretende afirmar la verdad de modo incuestionable.
Aprendiendo a reconocer que cada afirmación científica no es absoluta, sino tiene un propio ámbito de validez (por ejemplo, un teorema de geometría euclidiana no vale para las geometrías no euclidianas), se vuelven capaces de desenmascarar la pretensión de que la ciencia sea una vía universal capaz de asegurar la verdad en sentido absoluto. Una buena educación científica conduce a reconocer las preguntas que la ciencia puede contestar, separándolas de las que no puede contestar, sugiriendo pero que estas preguntas no están necesariamente sin respuesta, como afirma cierto cientifismo muy difuso, sino que deben ser afrontadas con métodos a ellos adecuados. Es precisamente la reflexión larga y minuciosa sobre el método que hace crecer la capacidad de juicio, a medida que se reconoce que ello no es un absoluto, sino depende del objeto sobre el que vierte la investigación. En efecto, al interno del método científico, incluso permaneciendo algunas características generales, están presentes interesantes diferencias, ligadas a clases de fenómenos. Confrontando matemáticas, física, biología, geología, astronomía, paleontología, etc., se reconoce la unión del método con el contenido que está afrontando.
Una característica extremadamente formativa de la ciencia es que vive en la historia, a medida que se han delimitado los fenómenos a los que ella mira. La historia de las disciplinas científicas y de las matemáticas puede dar a la escuela una contribución importante para aclarar el origen, como espíritu y como método, del saber científico, expresando las preguntas de base y el punto de vista de cada disciplina. Nos sorprende como el trabajo de cada uno de los científicos haya sido poco a poco retomado por otros, como en una larga cordada, manifestándonos el fenómeno humano de la tradición: entrega a las generaciones siguientes del patrimonio de humanidad al que se ha llegado, para que sea utilizado y ampliado, al que corresponde la amorosa reanudación de parte de cada generación del patrimonio de experiencias y certezas entregadas por aquella anterior.
En matemáticas el método no es sólo la deducción lógica: la clasificación tiene una parte muy significativa en el estudio de límites, derivadas, integrales, ecuaciones diferenciales; la representación es una idea fundamental para comprender la geometría analítica, para visualizar importantes características de las funciones, para tener una visión total de la tendencia de las soluciones de una ecuación diferencial, etc. Dominar criterios de aproximación tiene una diferente metodología. Proceder por tentativas es obligatorio en algunas problemáticas particulares. La observación tiene un rol esencial en determinar los procedimientos resolutivos de cualquier tipo de problema (por ejemplo no desarrollar los productos antes de haber observado bien la posibilidad de simplificar, decidir cómo reescribir un límite para poder aplicar el uso de límites fundamentales o de la equivalencia). Un factor esencial debe ser añadido cuando se pasa de la descripción de la ciencia a la búsqueda de un método en la enseñanza científica: las características de quien aprende (leyes del aprendizaje, motivación, edades, etc.) influyen en la determinación del método.

La verdad científica

¿Cuáles son los factores que caracterizan el método en las varias disciplinas científicas? He aquí un elemento común: un resultado científico es verificable, un experimento científico es reproducible. Se puede afirmar incluso que una afirmación es científica si se puede reconocer si es verdadera o falsa con respecto al ámbito de fenómenos con la que es conectada. Es importante subrayar que aunque si la verdad científica no es absoluta, porque cada teoría tiene un ámbito suyo de validez, sin embargo no es discutible. En la ciencia no existe la opinión como expresión de relativismo. La ciencia no es escéptica, ni indiferente o impersonal. El espíritu científico consiste en formular conjeturas en base a algunos indicios y sucesivamente aceptarlas o rechazarlas con base a una investigación esmerada y a la comparación con la realidad. También en matemáticas se formulan conjeturas y se puede enseñar a formularlas [Longo, 2007]. La conjetura nace de la observación, pero luego para ser considerada verdadera necesita ser demostrada. En el campo científico, pues, la intuición es útil y se pone como presupuesto mediante la demostración. La búsqueda de la verdad caracteriza el espíritu científico, incidiendo en el método. Hay preguntas en la investigación científica que la humanidad se ha pasado de mano en mano por años, antes de llegar a identificar respuestas ciertas. En las matemáticas, es conocido el caso del teorema de Fermat o la larga meditación de muchos que ha dado a luz a las geometrías no euclidianas. Idéntica es la meta: determinar la verdad de un hecho, de una afirmación. Las disciplinas científicas proponen a quien se acerca a ellas la certeza de poder llegar a la verdad, si individúan un oportuno método de verificación. Heredar el amor por la verificación y aprender a transmitirla, con los métodos oportunos, a cada campo de la experiencia humana, es ciertamente de gran provecho para la persona.
He aquí pero una diferencia: el modo de verificar. En las matemáticas el control es sólo lógico, en referencia a las proposiciones iniciales de una teoría: verdadero en matemáticas significa compatible con las propiedades aceptadas al inicio como verdaderas (dichas postulados o axiomas), es decir deducido por ellas con pasos lógicos irrefutables. Las matemáticas en la historia del pensamiento científico han delimitado su campo a la coherencia lógica del lenguaje dejando a otros la tarea de la verificación de la verdad con respecto a la realidad (validez). Compatibilidad y validez son ambas manifestaciones de la búsqueda de la verdad.
Quien trabaja en una investigación científica sabe que la garantía de la existencia de una respuesta a sus preguntas está en la realidad que tiene de frente, pero no sabe si y cuando llegara a identificarla. Encontrar las respuestas depende en gran parte del hecho de que las preguntas sean bien formuladas y en parte también de la suerte. El intento específico del científico es representar (a través del lenguaje matemático) las relaciones que unen a los fenómenos naturales. Nacen los modelos matemáticos, a través de los cuales se estudian los fenómenos de una clase delimitada de fenómenos. He aquí un nuevo motivo para afirmar que la verdad científica no es absoluta, el hecho de que los modelos sean revisables a medida que se descubren nuevos fenómenos. Un ejemplo: la teoría de la relatividad explica un complejo de fenómenos mucho más vastos que aquel del modelo newtoniano anterior; éste no viene a caer, pero no logra cubrir los fenómenos en que las velocidades están muy cercanas a la de la luz. El nuevo modelo es más general y contiene al viejo como caso particular, pero la validez del viejo no viene a menos en su ámbito.

«La ciencia es una construcción provisional y hace falta vivirla a travès de su historia para comprenderla completamente y también para comprender en qué consiste su precariedad. Grosso modo se puede decir: en cada período el desarrollo científico es función de todos los conocimientos del momento; cambian los conocimientos, cambian los hechos, también cambia la ciencia. He aquí qué cosa es el relativismo científico. Y no es ésta una posición escéptica, a pesar de que se pueda negar, como yo niego, cualquier posibilidad a la ciencia de conseguir algo realmente absoluto. Personalmente, el esfuerzo que he hecho por muchos años ha sido de sustraerme a este loco orgullo de un saber definitivo, que la ciencia crea en nosotros; de liberarme del veneno que el pensamiento positivista había sedimentado en mi espíritu y de persuadirme de la fatal relatividad de los conocimientos científicos, sin que esto me condujera al escepticismo hacia lo absoluto, pero dándome más bien la seguridad de lo absoluto» [Francesco Severi, 1959, pag.161, 162].

También en matemáticas existe una evolución interna. Por ejemplo los conjuntos numéricos (números naturales, relativos, racionales, reales, complejos) han emergido en sucesión, generados uno del otro y cada uno comprende el precedente como subconjunto. ¡Pero no todo puede ser familiar a todos! Muchos estudiantes de la escuela superior y de la universidad, aunque trabajan habitualmente con los números reales, conocen muy poco de su naturaleza, delicada y «abstracta»: abstracta, sin embargo ligada a hechos reales.

Las matemáticas son el lenguaje de la ciencia

La ciencia crea representaciones, provee modelos de ámbitos observados por el hombre, sugiere hipótesis explicativas. Ella, de por sí, no es ni buena ni mala, es el hombre que es bueno o malo cuando utiliza para sus objetivos los instrumentos que la ciencia ofrece. Las teorías científicas facilitan la comprensión de los fenómenos reales y permiten hacer previsiones. ¿Vale todo esto también para las matemáticas? Las matemáticas ofreciéndose como lenguaje, y por lo tanto como fuente de posibles modelos, trasladan a la ciencia su riqueza, es decir la garantía de coherencia interior y su potencia deductiva.

«La construcción de “modelos teóricos” a niveles más altos de la ciencia es naturalmente muy limitada por los lenguajes matemáticos a través de los cuales son formuladas las teorías avanzadas. Es obvio que son formuladas en aquel modo para poder ser lo más claras posible. La claridad permite evitar las contradicciones lógicas. Pero las matemáticas tiene otra función: una matemática bien formulada también es un sistema de esmeradas deducciones lógicas y es el pleno poder derivado de las matemáticas que el científico quiere explotar. Después de todo, el objetivo de una teoría física formulada en términos matemáticos no es solamente la descripción sino la generatividad» [Jerome Bruner, 1997].

Las matemáticas, como se ha perfilado en la época moderna, son diferentes de las otras disciplinas científicas, porque han delimitado su campo de investigacón sobre todo al aspecto lingüístico, están preocupadas de la coherencia de la forma y no de la representación de los fenómenos naturales. Una fórmula matemática es un modelo de certeza, pero no es inmediato atribuirle un significado. Es cierta porque es coherente desde el punto de vista lógico con las propiedades que la preceden, hasta remontar a los axiomas iniciales del contexto a que pertenece. He aquí dos conocidos aforismos: «Las matemáticas son una ciencia en la que no se sabe de qué se habla y no se sabe si lo que se dice es verdadero» (Bertrand Russel) y «Hasta cuando las leyes de la matemáticas se refieran a la realidad ellas no son ciertas; y cuando ellas son ciertas, no se refieren a la realidad» (Albert Einstein). En las matemáticas puede ser difícil localizar una unión directa con la realidad. Es muy evidente, en cambio, el aspecto de la búsqueda de la belleza. El criterio de la utilidad acabaría por unir el valor de las matemáticas a las posibles aplicaciones, la belleza conduce en cambio a descubrir la verdadera naturaleza de pensamiento racional.
Los niños introducidos en las matemáticas haciendo palanca sobre el pensamiento personal y creativo, prueban enseguida la belleza y manifiestan un verdadero apego al trabajo, es decir una evidente satisfacción. Revelan que la motivación al hacer matemáticas no es externa a ellos sino interna. Ejemplos pueden ser localizados en [Longo, Barbieri, 2008]
A todas las edades, cuando los jóvenes trabajan en matemáticas con la libertad de indagar, de localizar relaciones, de representar, de simbolizar, de planear procedimientos, de hacer tentativos y averiguarlos, llegan a probar el atractivo de esta disciplina y aprenden a no asustarse de eventuales errores. Su yo entra en acción cuando se adhiere a las preguntas con que se encuentra. No es un proceso inmediato porque hace falta aceptar la fatiga, el rigor de la prueba racional, pero es una conquista que dura en el tiempo, una riqueza para la vida. Aceptar la fatiga por amor del conocimiento y por la conciencia de la satisfacción: un lindo punto para educar.

El arte de la invención

Es un hecho que nos llena de estupor que los lenguajes abstractos inventados por los matemáticos vengan luego utilizados por la ciencia experimental para representar el mundo. Es un testimonio de la unidad interior del hombre y de la naturaleza. He aquí un ejemplo bastante conocido. En el Renacimiento, ha sido descubierta por las ecuaciones de tercer grado una fórmula muy complicada, luego caída en desuso, tan complicada que se había recurrido a una poesía para poderla memorizar más fácilmente [Manara, Lucchini, 1976]. En esta fórmula ocurría un hecho extraño: las cosas sólo funcionaban si se suponía que hubiera un número cuyo cuadrado es -1, cosa imposible en el campo de los números reales, donde los cuadrados son todos positivos. Pero ¡el arte de los matemáticos es la invención! Como se necesitaba hacer cuadrar las cosas, han dado el nombre «i» a un objeto ideal (subordinado pero con precisas reglas de cálculo) así i² = -1, y de esta posición, entonces sólo por conveniencia, han nacido los números complejos. Hoy ellos son indispensables en análisis matemático, en geometría, en ingeniería.
Análogamente ha sucedido para las geometrías a n dimensiones y para las conocidas geometrías no euclidianas. Nos extraviamos al tratar de imaginar cuántas nuevas estructuras del pensamiento alguien esté hoy elaborando, a partir de aquellas ya conocidas y cómo estos objetos ideales proveerán nuevos instrumentos a la representación de fenómenos reales. En el ejemplo de los números complejos se ve bien como en matemáticas la invención pueda preceder abundantemente a la aplicación y ésta desmiente un actual prejuicio, de que la investigación matemática predominantemente se desarrolle bajo la presión de las cuestiones aplicativas, es decir de las necesidades puestas por el comercio, por el ejército etc. El matemático en cambio es un apasionado de la verdad y conoce la emoción del descubrimiento, aunque no rechaza trabajar para las aplicaciones.

«Hacía falta en fin coger las modificaciones de las apariencias en el paso de un primero a un segundo observador, o sea de una primera a una segunda referencia; y seleccionar entre estas apariencias aquellas que quedaban inalteradas, (invariables) y no eran pues apariencias sino verdades reales. Es lo que Einstein hizo en 1916, con un instrumento de cálculo, que por suerte estaba listo: el cálculo diferencial absoluto (se llama hoy cálculo tensorial) creado, justo aquí en Padua, por Ricci-Curbastro y por Levi-Civita […]. Las matemáticas combinan muchas diabluras, que no se sabe si sean aplicadas mañana o en el año dos mil. El cálculo diferencial absoluto era una de éstas. Es por eso que hace falta dejar a los matemáticos libertad en sus vuelos, justo como se pide para los artistas» [Francesco Severi, 1959, pág. 224, 225].

Miremos mejor dentro de las matemáticas

Actualmente el objeto específico de las matemáticas, aquel inmediatamente visible, no es la realidad externa sino los modelos abstractos del razonamiento lógico: el impacto con la realidad es mediado por la racionalidad del hombre. Su contenido está hecho de objetos y estructuras del pensamiento al cual se da el estatuto de nuevos objetos reales, pero que no existirían sin la acción del sujeto en la realidad.

«Los significantes (símbolos y signos) representan en efecto de los significados que son ellos mismos de orden cognitivo y psicológico.
El conocimiento consiste al mismo tiempo en significados y significantes: él no está constituido sólo de símbolos sino también de conceptos y de nociones que reflejan sea el mundo material que la actividad del sujeto en el mundo material. Si el conocimiento se elabora lentamente, con leyes de desarrollo que psicólogos y pedagogos tienen que estudiar, es justo porque él refleja la actividad del sujeto en el mundo material y no solamente el mundo material por sí mismo.
El símbolo no es más que la parte directamente visible del iceberg conceptual; la sintaxis de un sistema simbólico no es sino la parte directamente comunicable del campo de conocimiento que eso representa.
Esta sintaxis no tendría ningún valor sin la semántica que la ha producido, es decir sin la actividad práctica y conceptual del sujeto en el mundo real» [Gerard Vergnaud, 1994].

He aquí pues volver a la presencia de las realidades en las matemáticas, a través del filtro de la acción del hombre en su impacto con lo real. Por consiguiente, para quien estudia es más difícil localizar y recorrer su relación con la realidad, es diferente la experiencia de aprender, es diferente su método interno. Hemos afirmado que su contenido está hecho de estructuras del pensamiento al cual se da el estatuto de nuevos objetos reales [Maier, 1998]. Esto vale desde el principio, también para los números y las figuras geométricas. La estructura de las operaciones entre números naturales no es idéntica a las estructuras de las acciones que se cumplen en los objetos: la multiplicación en N (números naturales) es conmutativa, por ejemplo 3•4 = 4•3; si en cambio se vuelve a una situación real, por ejemplo contar las patas de 3 gatos (que tienen, se sabe, 4 patas cada uno) no es razonable cambiar la función de los números, es decir no es como preguntar el número de las patas de 4 gatos con 3 patas cada uno (que sencillamente no existen).
A menudo las formulaciones matemáticas abstractas proveen estructuras mentales que sustentan la imaginación de modelos, es decir de representaciones. En los últimos siglos, el entrelazamiento entre el conocimiento experimental y las matemáticas es de veras complejo, como leemos en Whitehead.

«En los siglos décimosexto y decimoséptimo la teoría de la periodicidad asume en la ciencia un puesto fundamental; Kepler descubrió una ley que correlaciona los ejes mayores de las órbitas planetarias con los períodos en que los planetas individualamente recorren las correspondientes órbitas; Galileo observó las oscilaciones periódicas de los péndulos; Newton explicó el sonido como debido a las perturbaciones del aire por el paso de ondas periódicas de condensación y rarefacción; Huygens explicó la luz en términos de ondas transversales de vibración de un éter sutil; Mersenne estableció la relación entre el período de las vibraciones de una cuerda de violín y el espesor, la tensión y la longitud de la cuerda misma. El nacimiento de la física moderna es fruto de la aplicación del concepto abstracto de periodicidad a una gran variedad de casos concretos. Pero ésta habría sido imposible si los matemáticos no hubieran elaborado primero, en abstracto, las muchas ideas que se agrupan alrededor del concepto de periodicidad. La trigonometría ha tenido origen por el estudio de las relaciones entre los ángulos del triángulo rectángulo y las relaciones entre los catetos y la hipotenusa del triángulo. Luego bajo el influjo de las nuevas matemáticas del análisis de las funciones, se ha extendido al estudio de las funciones periódicas abstractas simples que configuran y expresan tales relaciones en general.
De este modo la trigonometría se ha vuelto completamente abstracta y, volviéndose abstracta, se ha vuelto útil. Ella ha iluminado la analogía de base entre grupos de fenómenos físicos completamente diferentes; y al mismo tiempo, ha provisto los instrumentos con que las muchas particularidades de un grupo podían ser analizadas y puestas en relación entre ellas. No hay nada que golpee más que este hecho: a medida que las matemáticas se elevaban y se apartaban en las regiones más altas del pensamiento abstracto, volvía luego a tierra como un instrumento cada vez más importante para el análisis de los hechos concretos. La paradoja de que las abstracciones extremas son los mejores instrumentos para controlar nuestra idea de los hechos concretos ha adquirido una sólida base» [Alfred North Whitehead, 1979]

Cuando durante un encuentro con los jóvenes de Lacio, el 6 de abril de 2006, le fue preguntado a Benedicto XVI cómo hacer para armonizar ciencia y fe, el Papa dio una respuesta muy articulada partiendo de la capacidad de las matemáticas para explicar la naturaleza.

« Reflexionemos ahora sobre qué es la matemática: de por sí, es un sistema abstracto, una invención del espíritu humano que como tal, en su pureza, no existe. Siempre es realizado de forma aproximada, pero, como tal, es un sistema intelectual, es una gran invención -una invención genial- del espíritu humano. Lo sorprendente es que esta invención de nuestra mente humana es realmente la clave para comprender la naturaleza, que la naturaleza está realmente estructurada de modo matemático, y que nuestra matemática, inventada por nuestro espíritu, es realmente el instrumento para poder trabajar con la naturaleza, para ponerla a nuestro servicio, para servirnos de ella mediante la técnica. Me parece casi increíble que coincidan una invención del intelecto humano y la estructura del universo: la matemática inventada por nosotros nos da realmente acceso a la naturaleza del universo y nos permite utilizarlo. Por tanto, coinciden la estructura intelectual del sujeto humano y la estructura objetiva de la realidad: la razón subjetiva y la razón objetivada en la naturaleza son idénticas. Creo que esta coincidencia entre lo que nosotros hemos pensado y el modo como se realiza y se comporta la naturaleza, son un enigma y un gran desafío, porque vemos que, en definitiva, es "una" la razón que las une a ambas: nuestra razón no podría descubrir la otra si no hubiera una idéntica razón en la raíz de ambas. En este sentido, me parece que precisamente la matemática -en la que, como tal, Dios no puede aparecer- nos muestra la estructura inteligente del universo. Ahora hay también teorías basadas en el caos, pero son limitadas, porque si hubiera prevalecido el caos, toda la técnica sería imposible. La técnica es fiable sólo porque nuestra matemática es fiable. Nuestra ciencia, que en definitiva permite trabajar con la energía de la naturaleza, supone la estructura fiable, inteligente, de la materia. Así, vemos que hay una racionalidad subjetiva y una racionalidad objetiva en la materia, que coinciden». [Benedicto XVI, 2006].

Matemática y cálculo

Actualmente, la práctica escolástica de las matemáticas ha sido contaminada por la exaltación mítica del cálculo que ha puesto en segundo plano su verdadera naturaleza de pensamiento racional y creativo, oscureciendo las cuestiones que llevan al significado. Según mi opinión, la hostilidad de los estudiantes nace en parte de la percepción de un hecho verdadero: que el cálculo sólo es interesante si es poco mecánico y finalizado a una meta.
Un niño puede solucionar un problema de multiplicación haciendo una suma repetida, demostrando comprender las matemáticas aunque no ha aprendido todavía un cierto algoritmo.
El cálculo repetitivo, aquel que consiste en hacer las operaciones de modo mecánico, y hacerlas muchas veces para memorizarla sin nunca volver al origen conceptual del algoritmo, es aburrido y poco formativo. Tanto es verdad que los niños entrenados con esta mentalidad no saben elegir las operaciones para solucionar un problema. Un cálculo se vuelve interesante y educativo si se tiene en cuenta las propiedades de las operaciones, si se busca la vía más breve, preguntándose cómo ahorrar tiempo, cómo conseguir el resultado mejor con el menor derroche de energías, si se pregunta cómo verificar al final la exactitud del resultado. Estrategias que son potenciadas por la costumbre al cálculo mental.

He trabajado unos dos años «para reinsertar dentro de las matemáticas» a una muchacha al inicio de la escuela superior, después de que había estudiado de memoria toda las matemáticas precedentes, en particular las operaciones con las fracciones. Todas las varias piezas navegaban en su cabeza sin estar en relación entre ellas y sin estar ligadas a un significado, es decir vinculadas a una clase de problemas. Ella agarraba de vez en cuando alguna porque tenía una semejanza formal con la tarea que estaba ejecutando, pero luego no sabía manipularla.

Matemáticas, experiencia, realidad

Hasta aquí he hablado de algunos aspectos macroscópicos que caracterizan ciencia y matemáticas, esenciales para comprender el deseo de conocimiento que ha empujado a los hombres a la investigación y a la invención del lenguaje científico. Son puntos que sin ningún artificio conducen a preguntarse quién es el hombre, autor de tanta creatividad y de tanto trabajo y contienen en sí una propuesta de significado. Para que el profesor sepa valorizar la disciplina, volviendo evidente su implícita propuesta de humanidad, el primer paso es redescubrir y valorizar la naturaleza de la ciencia, oscurecida por el extenderse del nocionismo. Pero en la escuela, además de la disciplina, hay otro punto esencial: el alumno que aprende, que es introducido en el saber científico.
Intento precisar cómo traducir la enseñanza de las matemáticas de forma que tengan en cuenta la realidad de la cual hacer experiencia y de la acción de quien aprende, para incrementar el pensamiento.
Seguimos este camino por niveles de madurez.

Primer Nivel

Los primeros conceptos de las matemáticas derivan, históricamente y psicológicamente, de la experiencia y el modo mejor de encontrarla para los niños es participar en experiencias significativas. Por ejemplo, las operaciones pueden ser introducidas como representaciones simbólicas de acciones. El problema es el instrumento privilegiado para conocer, porque describe acciones dentro de su contexto. En los problemas las operaciones son contextualizadas y por lo tanto ligadas a significados, las representaciones libres les permiten a los niños analizar las situaciones. Así los niños se convierten en protagonistas del proceso de matematización partiendo de la observación de «hechos» y sucesivamente descontextualizando. La enseñanza de las matemáticas en la escuela primaria y secundaria de primer grado debería ocurrir a través de un continuo paso desde la inmersión en un contexto (teorema en acto) hasta tomar distancia respecto al contexto para extraer la forma (abstracción), alternando contextualización y descontextualización.

«La mente del niño no pasa poco a poco a niveles de abstracción más elevada como la marea que sube. El desarrollo también depende, como Margaret Donaldson también ha demostrado (Come ragionano i bambini [Cómo razonan los niños], Emme Edizioni, 1979; última edición italiana Springer 2010), de la comprensión práctica que el niño o la niña tienen del contexto o de la situación en que tienen que razonar.
Una buena comprensión intuitiva, práctica, de un contexto en una fase de desarrollo lleva a un pensamiento mejor, más precoz y más profundo en la fase siguiente, cuando el niño encuentra nuevos problemas más arduos en aquel ámbito. Como profesor no se está a esperar que la prontitud “ocurra”; ella se promueve o se sustenta profundizando las capacidades del niño en la fase en que se encuentra en aquel momento» [Jerome Bruner, 1997].

Pero las acciones (actividad juegos, problemas) deben ser repensadas, juzgadas, incluidas, de otro modo la experiencia no produce pensamiento. Lo concreto no es mágico, generar pensamiento a partir de la inmersión en experiencias ocurre a través de la representación, en todas sus formas.
La idealización, necesaria para dar vida en la mente a las ideas matemáticas, y el aprendizaje son alcanzados a través de la representación gráfica, el relato de lo que se ha hecho, la comparación entre los muchos procedimientos de los niños de la clase, la composición de una relación sobre el trabajo de una mañana, la discusión y luego por fin el ejercicio. El niño se convierte en protagonista: el aprendizaje es vivido como un hecho histórico y esto educa a una posición existencial verdadera.

Segundo Nivel

Ya estamos dentro de las matemáticas, ¡aprendamos a trabajar como matemáticos! Señalo algunos aspectos interesantes para hacer vivir el espíritu de la disciplina, para pasar de las nociones a la reflexión metacognitiva.

Modelo matemático

Hace falta hundirse en una dialéctica fundamental: la visión interior de la disciplina y su relación con la representación de clases de fenómenos. No requiere niveles estratosféricos de conocimiento, sino solicita atención a los significados.
¡Cuántas veces un estudiante habla de gráficos en matemáticas, pero no sabe interpretar el contenido cognoscitivo de un gráfico, por ejemplo presión / volumen, en un contexto físico! «Leer un gráfico» es una posición diferente de aquella tradicional de «estudiar un gráfico». Significa saber interpretar el lenguaje gráfico para reconocer las propiedades analíticas por él representadas, concebirlo como una «memoria» de propiedades demostradas o sugerencia para demostrar otras.

Las tentativas

Siempre queda el primer paso para dar respuesta a situaciones problemáticas, para encuadrar una situación, para volver a pescar en la memoria datos útiles. Proceder por tentativas sólo es razonable si las tentativas posibles son en número finito.
Una buena ocasión para ponerla en evidencia, abriendo una reflexión de método, es la investigación de las raíces racionales de una ecuación algebraica a coeficientes enteros, o bien localizar dos puntos para hacer el gráfico de una recta.

Teoría y ejercicio

Son entrelazados estrechamente en el desarrollarse del pensamiento. El ejercicio más significativo es aquel en que no se hacen sólo cálculos, sino se tiene que hacer recurso a hecho teóricos, o viceversa afrontar casos particulares permite comprender la estructura de una teoría más que confirmar el aprendizaje. Ha expresado con claridad esta relación una matrícula de Ingeniería de un curso de Análisis matemático 1, dictado por mí en el Politécnico de Turín.

«Mi método de estudio está basado esencialmente en los ejercicios. Las matemáticas a nivel teórico puede en efecto resultar oscura no tanto por los contenidos cuanto por el lenguaje específico usado para expresarlos. Aplicando en cambio dichos contenidos directamente a los ejercicios puede ser eliminado el problema del lenguaje e comprendido más fácilmente el contenido. Una vez comprendidos los contenidos desde el punto de vista práctico es más fácil volver a la teoría y también eliminar el obstáculo constituido por el lenguaje».
Memoria y comprensión

Son interdependientes y ambas indispensables para el aprendizaje.
Se discute muchísimo acerca de la memorización de las tablas multiplicar, que algunos creen esenciales y solicitan que sean muy precoz, (segundo de primaria), mientras que otros minimizan enseñándolas después de que el sentido de la multiplicación resulta claro a los niños, otros aún niegan absolutamente su utilidad.
Centradísimo el juicio de Rosetta Zan: «La memorización de las tablas, y más en general de hechos aritmético, permite la construcción de parte del niño de una compleja red de relaciones que hace disponible, al momento oportuno, una serie de informaciones, algunas de tipo estructural, otras ligadas a la representación.
Y es justo esta red de informaciones que interviene de modo determinante cuando el sujeto se encuentra delante de un problema, es decir a una situación para la que no tiene a disposición un algoritmo resolutivo» [Rosetta Zan, 1998].

Reconocer la oportunidad de un proceso

No es banal. A menudo falta la idea de que un procedimiento puede ser formalmente justo, pero no conveniente. La conveniencia se reconoce sólo en vista de una meta, mientras la exaltación de la técnica como fin a sí mismo puede oscurecer este punto de vista.
Por ejemplo, calcular límites y derivadas para hacer el gráfico de la función y = (ax+b) / (cx+d), hipérbole traslata, no es absolutamente oportuno porque no minimiza las operaciones de cálculo.

La libertad de equivocarse

¿Es concebible en la escuela?
El error es inevitable, lo es de modo constitutivo para la experiencia humana: pretender anularlo no sería realista y anularía todo proceso de elaboración del conocimiento por tentativas. Todo se juega sobre la valoración formativa [Longo, 2008].

Estudiar la matemáticas

Estudiar matemáticas no desarrolla automáticamente la capacidad de razonar, que no es sólo aplicar correctamente fórmulas, sino es capacidad de proyectar, ejercicio del pensamiento crítico que se desarrolla en el aprender y capacidad de reconocerla como lenguaje para leer la realidad.
Sin criticidad un alumno sería un eterno repetidor, sin capacidad creativa y de satisfacción, que el es motor esencial del deseo de invertir energía y decisión en el aprendizaje [Foletto, 2002]. Por lo tanto el crecimiento de la capacidad de razonar está unido estrechamente a como se estudia. ¿Se puede identificar las matemáticas con las reglas?
La regla es un instrumento tranquilizador pero la domina quien sabe elaborarla, «reinventarla» [Freudenthal, 1994].
La mentalidad actual tiende a identificar la razón con el razonamiento lógico, mientras la razón es una apertura total a la realidad, comprende la lógica, pero es más amplia.

Es una reducción de la razón pensar que se tenga que hacer matemáticas comportándose como un autómata, porque razonar es acción de un sujeto libre: preguntarse las razones, observar, representar, elegir, proyectar recorridos, identificar preguntas, buscar respuestas. Un yo en acción es fundamento esencial del aprender. Que esto ocurra implica sin duda la adhesión del alumno: nadie puede sustituirse a su libertad. Pero también implica que se le haga una propuesta significativa a la cual adherirse y que le sea dado espacio dentro de una relación personal con el profesor. Debe ser reconocido que el sujeto del aprender es una persona dentro de la clase y no una clase en bloque [Foletto, 2002].
También hace falta que las matemáticas sea comunicada como un particular punto de vista sobre la realidad.

Las matemáticas en la escuela no puede ser autorreferencial: lo que puede fascinar a un joven no son los métodos y las técnicas sino la realidad (personal, física, histórica, social, etc.) que trasluce. [Para razonar sobre el método de estudio se puede recurir a Mazzeo 2005].

Conclusión

De esta panorámica emerge que la práctica de las matemáticas puede incidir de veras en toda la persona. Que esta posibilidad se realice en la escuela depende de las convicciones y elecciones del enseñante, el cual mediante la relación que vive con los alumnos, comunica a sí mismo sea como conciencia de la propia identidad, sea como juicio cultural y posición personal frente a la disciplina que enseña.
Acabo con una breve síntesis por puntos sobre qué se puede ganar aprendiendo las matemáticas, invitando a los profesores a hacer un trabajo sobre la enseñanza para mostrar en los detalles cotidianos el modo en que esto pueda realizarse:
el realismo como lealtad hacia el dato, característico de la ciencia experimental, también emerge en una tarea de matemáticas, donde el texto no puede ser traicionado;
la conciencia de la verificación como paso inevitable, para poner en relación con el método interior de la disciplina; la conciencia de la pluralidad de los métodos y su unión con el objeto; la conciencia de que la verdad existe y se puede alcanzar, que la opinión sólo es un primer paso válido sólo si es considerado como una conjetura para someter a verificación; el estupor frente al misterio del universo, siendo la matemáticas uno de los lenguajes para representarlo e interpretarlo; la conciencia de la naturaleza hipotética de la cultura; la conciencia de la idea de representación; el estupor frente a la capacidad de la mente humana de comprender, unificar lo que parece diferente, analizar la realidad.

Indicaciones bibliográficas

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