Encontrar la geometría en la escuela primaria: una experiencia fascinadora para los niños y para el profesor, por las posibilidades de llevar a la práctica la racionalidad más allá de las actuales reducciones intelectualistas. Partir de la observación de la realidad (la iglesia visitada, los mosaicos reproducidos a mano libre); cumplir acciones específicas (construir polígonos con un instrumento dibujar, componer, preparar los marca libro), usar el cuerpo (visitar, observar, construir, etcétera); provocar el nacimiento del pensamiento a través de la reflexión sobre la experiencia (análisis de los detalles, reconstrucción del mosaico descubriendo relaciones entre los ángulos); encontrar en el arte la atribución de sentidos simbólicos a las figuras geométricas, verbalizar las observaciones y hacer de ello una síntesis común; iniciar a memorizar a través de síntesis finales; comunicar la misma experiencia, (participación en una exhibición). Esto en síntesis los puntos salientes del método. La narración de la maestra revela como los niños han sido puestos en acción por el contacto con la belleza, manantial intrínseco de motivación, y de la posibilidad de usar el propio cuerpo. En matemáticas, partir de la experiencia potencia el aprendizaje con tal de no encerrarse dentro de eso, y es una vía realmente practicable, a pacto de saber hacer emerger el pensamiento racional.
Este recorrido de geometría ha sido desarrollado por el autor en un curso cuarto de la escuela primaria estatal "A. Saffi", Iº Circolo de Forli (Italia), en el año escolar 2006-2007.
Desde el año 1976 enseño en la escuela primaria, soy licenciada en materias literarias, pero desde siempre apasionada de cuestiones matemáticas. Desde 1995 trabajo en clases a tiempo lleno y curo el área lógico-matemática (además de geografía, ciencias, religión, imagen). Cotidianamente trato de dejarme interrogar por lo que emerge de preguntas, intereses, dificultades de mis alumnos, por tanto he seguido estudiando las matemáticas y su didáctica, participando en cursos propuestos por varias asociaciones y averiguando cuánto he aprendido en la práctica en la clase.1
En el año escolar 2006-2007, dentro de un grupo de trabajo seguido por Silvia Sbaragli (del equipo de Bruno D’Amore), ha nacido la propuesta de organizar en Forlì un congreso de matemáticas (dedicado a profesores de la escuela de la infancia, de la escuela primaria y secundaria de primer grado), acompañado de una exhibición de trabajos desarrollados con los cursos. Enseñaba en un grado cuarto a tiempo lleno (25 alumnos, algunos extranjeros y un alumno con el profesor de apoyo) y he decidido actuar, para proponerla en la exhibición, una actividad de búsqueda sobre los suelos de la basílica de San Vital en Rávena.
Esta basílica del siglo VI es conocida universalmente y visitada porque sobre las paredes del presbiterio son presentes mosaicos bizantinos de enorme importancia, (el emperador Justiniano, la emperatriz Teodora, escenas de la Biblia, decoraciones florales); además son interesantes las pavimentaciones del siglo XVI, (desafortunadamente en gran parte escondidas por bancos y sillas) formadas por figuras geométricas realizadas con mármoles y tarjetas antiguas que crean un sentido de armonía.
No quise proponer a mis alumnos un trabajo junto a aquel cotidiano sobre los polígonos, pero deseaba que aprendieran a descubrirlos con todas sus características partiendo de la observación de aquellos mosaicos marmóreos. Deseaba valorizar su experiencia personal poniéndolos a contacto con una expresión de belleza que creara enseguida un impacto motivador al estudio que habrían emprendido.
Visita a la Basílica
Primera fase: sobre el campo.
En una fría mañana de febrero, hemos ido en excursión a Rávena, acompañados por una guía. En San Vital hemos observado cuidadosamente la estructura particular de la basílica, los famosos mosaicos parietales y luego nos hemos dedicado al piso. A través de la guía, había pedido anteriormente a la Superintendencia a las Bellas Artes que permitiera a los niños reproducir con el lápiz sobre hojas blancas algunas composiciones presentes sobre los suelos del octágono central. Me interesaba en efecto que tuvieran un contacto físico con el material del cual habríamos mucho hablado, que tocaran las tarjetas, que observaran los colores de los mármoles, que notaran las imperfecciones, en fin que su corporeidad fuera implicada.
Al descubrimiento del octágono
Segunda fase: en el salón.
En el salón de clase hemos observado la planta de la basílica de San Vital [Fiorentini, Orioli, 2003].
Usando el papel satinado, cada alumno ha repasado el contorno de "polígonos" y "no polígonos" presentes en la planta. Hemos conversado largo rato sobre las figuras reproducidas, discutiendo sobre aquellas que se podían considerar polígonos y por qué. Esta actividad ha sido propuesta como verificación de conocimientos ya adquiridos, ya que en precedencia clasificamos como "polígonos" las figuras que tienen como confín una línea quebrada cerrada (es decir una línea cerrada formada por segmentos) y como "no polígonos" las figuras que tienen como confín una línea mixta cerrada (es decir una línea cerrada formada por segmentos y rasgos de línea curva). Después de haber reconocido los polígonos, han contado sus lados y han empezado a nombrarlos: de algunos ya conocían el nombre (triángulo, cuadrado, rectángulo), de otros no (trapecio, hexágono, octágono).
A propósito del octágono, han notado que había uno más pequeño dentro de aquel más grande. He solicitado medir el largo de los lados y la amplitud de los ángulos del octágono mayor, luego del octágono menor: cuando todos se han dado cuenta que en cada octágono los lados tenían el mismo largo y los ángulos la misma amplitud, he señalado la conveniencia del empleo común de añadir el adjetivo "regular" al nombre octágono para distinguir este tipo del octágono más general, polígono regular con ocho lados.
De la siguiente grabación de los datos relevados en los dos octágonos, alguien ha notado que en ambos la amplitud de los ángulos era la misma.
A este punto los he ayudado a recordar, y a fijarse en lo que descubrieron durante las actividades de engrandecimiento y reducción de dibujos sobre papel cuadriculado que ejecutaron en los meses anteriores para familiarizarse con los conceptos de similitud (y "escala" en geografía).
Hemos aprendido luego a conocer mejor el octágono a través de la construcción de un modelo dinámico, compuesto por dos cuadrados congruentes que giran alrededor del centro de rotación constituido por el punto de encuentro de las diagonales.
Cada alumno ha realizado el propio modelo usando papel para los dos cuadrados y un botón automático para permitir la rotación.
Trabajando en parejas, los alumnos han ejecutado la entrega de hacer girar los dos cuadrados con ángulos de rotación diferentes (10° - 20° - 30° - 40° - 45° - 50° - 60° - 70° - 80° - 90° -100° -110° - 120° -130% como les fue enseñado en una anterior actividad sobre las isometrías (simetrías, rotaciones, traslados).
Cada pareja, que tenía a disposición un modelo, ha señalado sobre una hoja los vértices de los dos cuadrados después de haberlos hecho girar uno sobre el otro por una de las rotaciones indicadas, luego ha unido con segmentos los puntos localizados, al final han recortado el octágono conseguido.
Los 14 octágonos realizados por cada pareja, correspondientes a las 14 posibilidades indicadas por la rotación, han sido luego confrontados, a través de la sobreposición, han sido medidos los lados y los ángulos.
Después de varias pruebas y discusiones en clase, he aquí los descubrimientos de los alumnos.
Cuando giramos de 45° conseguimos un octágono regular.
Si giramos de 90° conseguimos un cuadrado, porque los dos cuadrados se sobreponen.
Las rotaciones de ángulos que tienen como suma 90°, 40° y 50° o bien 30° y 60°, etcétera, forman octágonos no regulados congruentes (lo hemos entendido porque se sobreponen perfectamente).
Cuando se supera la rotación de 90°, se recomienza de 0°(por ejemplo si se gira de 110° es como girar e 20°).
Por fin, usando el propio modelo dinámico, cada alumno ha dibujado y recortado un octágono regular, luego ha trazado las diagonales.
En parejas, su trabajo ha continuado para contestar a las preguntas puestas por mí y cuyas respuestas han sido transcritas sobre el cuaderno de geometría.
"¿Cuántas son las diagonales? ¿Cuántas diagonales parten de cada vértice? ¿Cuáles polígonos forman? ¿Son cóncavos o convexos? ¿Por qué? Pinta los polígonos que individúes. ¿Cómo se llaman? ¿Cuál polígono ves al centro? “
Hemos llegado a las respuestas definitivas confrontando y corrigiendo las respuestas de cada uno, realizando un trabajo de reinvención guiado [Freudenthal, 1994].
A este punto de la actividad, ha sido posible introducir los alumnos a un argumento de gran valor histórico y cultural, a ellos desconocido, detectable de la arquitectura de la iglesia, haciéndolos reflejar sobre la unión histórica de las matemáticas, y en particular de la geometría, con símbolos cósmicos en el mundo clásico. En particular, quería que se percataran de cómo geometría y arte están conectadas y cómo a través del empleo de símbolos los hombres hayan querido representar físicamente por analogía realidades presentes pero no visibles, como la relación entre Dios, el hombre y el mundo.
Hemos examinado el valor simbólico de los números cuatro y ocho en la tradición cristiana dentro de la que fue planeada y construida la basílica de San Vital.
He aquí los principales papeles revestidos por estos dos números en el mundo clásico.
Cuatro es el número cósmico
Con sus cuatro puntos cardinales, los cuatro vientos, los cuatro elementos de los cuales es formado (aire, agua, fuego, tierra), las cuatro fases de la luna, las cuatro estaciones, según Pitágoras y sus seguidores el mundo se mantiene sobre un orden "cuadrado" que lo fija sobre una posición estable dentro del flujo del tiempo.
En la Sagrada Escritura, luego, cuatro son los ríos del Paraíso, cuatro son los Evangelios, cuatro son las fases de la vida terrenal de Cristo (encarnación, pasión, resurrección, ascensión).
Ocho es el número de la armonía perfecta
Es la octava cuerda de la cítara (cuyo sonido reproduce aquel de la prima, como en Cristo es encerrada toda la música del Padre), es el día de la resurrección del Señor, es el número de las bienaventuranzas.
El ocho es el número del equilibrio, representa más cumplidamente la rosa de los vientos y define el octágono, figura que está entre el cuadrado y el círculo, entre la tierra y el cielo, evocante la resurrección de Cristo [www.larici.it]; el octágono por lo tanto representa la mediación entre el círculo, (Dios, la perfección, el cielo) y el cuadrado (la tierra, los hombres, la materia, la imperfección).
El ocho une el infinito a lo finito y es un símbolo de renacimiento, de resurrección, de acercamiento a la perfección, usado también por la pila bautismal. Gráficamente, las dos líneas que forman la cifra simbolizan, al intersecarse, el paso de la vida terrenal a aquella espiritual y un "8" puesto en horizontal es el símbolo del infinito.
"En la tradición cristiana e islámica la figura del octágono es uno de los principales símbolos del arte y de la arquitectura: múltiples las decoraciones y los templos a forma octagonal. Algunos edificios civiles y militares presentan la forma octagonal, el más admirable ejemplo es Castel del Monte en Puglia. A nivel arquitectónico no es por una casualidad si de la antigua tradición cristiana la pila bautismal - que simboliza regeneración y renacimiento - casi siempre tiene la forma octagonal" [www.antropologiaartesacra.it].
Desde el punto de vista arquitectónico han sido leídas a los niños las interesantes observaciones reportadas abajo:
"[…] el octágono es una figura plana formada por dos cuadrados que se intersecan a 45°. Así los octágonos dibujados por pilares, columnas y muros se desdoblan idealmente, pero perceptiblemente, cada uno en dos cuadrados […] Característica de las iglesias bizantinas es precisamente el espacio dilatado[…] El actual piso es compuesto por ocho gajos, ocho triángulos dispuestos alrededor de un círculo central, de los cuales seis son truncados, los otros dos, los originales, terminan en punta. Hoy sobre el suelo hay cinco triángulos embotados en punta, llenados por cinco grandes flores de piedra de todos los colores que una naturaleza fantasiosa parece haber hecho brotar como en un prado. Casi tuvieran las raíces en el octágono de la Basílica, estas flores de mármol se abren con ocho pétalos, ocho rayos tal como las estrellas de los mosaicos del Mausoleo de Galla Placídia."
A caza de polígonos en aula
Tercera fase.
Hemos tomado en consideración los mosaicos del pavimento que forman los seis gajos del octágono central realizados en el siglo XVI (por lo tanto los más recientes). He puesto a disposición de cada alumno las fotos de los detalles de las pavimentaciones, las hemos examinado y confrontado con sus bosquejos ejecutados auténticamente.
He solicitado a los niños para que localicen los ya conocidos polígonos y lo nombren. Hemos utilizado los espejos para descubrir ases de simetría en los polígonos y en sus composiciones. Al mismo tiempo, han sido examinadas en el detalle las principales características de los polígonos encontrados, clasificándolos en base a los lados, a los ángulos, a los ases de simetría.
Investigarlos en las pavimentaciones ha sido una "caza", a la cual todos han participado con entusiasmo: hubo quien decía que había descubierto un nuevo tipo de polígono, pero sólo era un cuadrado girado, otros han localizado en las estrellas que los fascinaron muchos rombos, cuadrados, triángulos, dispuestos de varios modos, otros en cambio se han divertido en contar cuántos triángulos más pequeños estaban dentro de un triángulo más grande. La posibilidad de manipular, observar, investigar, desplazar ha permitido fundar el aprendizaje en una experiencia personal, que ha vuelto a cada uno atento e interesado. Sucesivamente, sobre una gran hoja de papel centimetrado, nos hemos puesto a la obra todos juntos para reproducir una pavimentación a la vez: quien quería, podía venir a dibujar un polígono (lo debía nombrar y recordar las características que sirven para trazarlo usando raya y goniómetro), acercar otro, luego otro y aún otro, etcétera. Los compañeros, desde el puesto, comentaban, se mostraban de acuerdo, disentían, podían a turno venir a presentar la misma propuesta, tratando de explicar el motivo.
Fui yo la primera quien se asombró por lo que se formaba bajo nuestros ojos acercando aquellas simples formas geométricas de modo personal.
Hemos logrado localizar y reproducir 16 composiciones, algunas simples, otras realmente complejas, que luego cada alumno ha copiado sobre el propio cuaderno, siempre sobre papel centimetrado.
Mientras dibujaban y pintaban usando lápiz, regla y pasteles, los niños se paraban para observar regularidades, composiciones sobre el plan e ilusiones tridimensionales que variaban con base a las coloraciones dadas a polígonos individuales. Al final, habíamos realizado fichas sintéticas (llamadas Carné de identidad) de los varios polígonos, utilizando las numerosas observaciones de los alumnos (emergidas durante la actividad sobre las pavimentaciones) que a turno los niños mismos apuntaban sobre una gran hoja sobre la que todos podían intervenir para añadir o para corregir.
(He creído oportuno utilizar papel centimetrado y no hojas blancas, porque, aunque los niños en cuarto inician a trazar polígonos con regla, escuadra y goniómetro, pensaba que sería demasiado laborioso dibujar figuras tan precisas.)
Reconstruir las pavimentaciones
Cuarta fase: en el laboratorio
En parejas los alumnos han elegido una composición que tenían que reconstruir, han agrandado los polígonos, siempre sobre papel centimetrado, sin deformarlos, duplicando o triplicando lo largo de los lados correspondientes, pero estando atentos a conservar la amplitud de los ángulos. Con esta actividad han fijado cada vez más en la mente los conceptos relacionados a la similitud, explorados ya con los dos octágonos regulares examinados en precedencia.
Sucesivamente han reproducido sobre cartulinas (de colores elegidos por ellos), los perfiles de los polígonos necesarios para realizar la composición, los han recortado y pegado con precisión sobre el dibujo de tal manera que revestían toda la superficie consiguiendo así reproducciones fieles de pequeñas partes elegidas en el suelo original.
Cuando el trabajo se acabó, he solicitado medir las amplitudes de los ángulos que tenían el vértice en común y sumarles entre ellos.
A medida que los cálculos eran completados, se percataban allí que la suma siempre era 360°: Esto ha suscitado sorpresa en algunos, para otros en cambio ha sido una confirmación de consideraciones hechas mientras se medía.
Al final, juntos, hemos llegado a concluir que para revestir (sin agujeros y sin sobreposiciones) un suelo con los polígonos, la suma de los ángulos que tienen el vértice en común tiene que ser siempre de 360°, es decir un ángulo giro. Y por lo tanto no se puede hacer una pavimentación usando cualquier polígono. Sucesivamente les he propuesto a los alumnos reproducir, interpretando libremente, partes de composiciones sobre las hojas de papel cuadriculado de sus cuadernos para realizar marca libros para ofrecerles a los visitadores de la exhibición.
Los niños han dibujado y pintado, en poco tiempo, muchos marca libros, (unos 200) que han sido recortados y plastificados y que han tenido un gran éxito entre niños, padres y profesores de los varios órdenes de escuela que han ido al evento.
Consideraciones finales
Al fin de esta actividad, iniciada en febrero y acabada en junio, he comprobado que los niños han aprendido:
– a reconocer y dibujar triángulos de vario tipo, cuadrados, rombos, paralelogramos, hexágonos, trapecios, etcétera, en cualquier posición que fueran, eliminando algunas fijezas que se formaron durante la anterior enseñanza de la geometría;
– a aplicar operativamente los conceptos de perpendicularidad y paralelismo;
– a reconocer con seguridad las eventuales simetrías presentes en una figura plana y en composiciones de polígonos;
– a consolidar las actividades de medición de los ángulos interiores y externos de los polígonos para un empleo cada vez más consciente del goniómetro;
– a descubrir las reglas para efectuar recubrimientos de superficies usando tacos poligonales;
– a comprender en situaciones de juego el concepto de superficie (distinguiéndolo del confín);
– a reconocer la igual extensión de figuras planas a través de descomposiciones y recomposiciones;
– a experimentar la disposición ordenada de figuras geométricas simples y de color diferente puede determinar motivos decorativos agradables.
INDICACIONES BIBLIOGRÁFICAS Y SITOGRAFICAS
H. Freudenthal Ripensando l'educazione matematica, La Scuola, Brescia 1944.
R. Manara, La matematica e la realtà., Marietti, Milano-Genova 2002.
A. Cerasoli, Mister Quadrato, Spezling & Kupfer, Milano 2005.
G. Arrigo, S.Sbaragli, l solidi, Carocci Faber, Roma 2005.
B. D'Amore Geometria, Franco Angeli, Milano 1997.
B. D'Amore, Matematica. dappertutto, Pitagora, Bologna 2007.
B. D'Amore, M.I. Fanclino Pinilla, I. Marazzani, S. Sbaragli, La didattica e le difficoltà. in matematica, Erickson, Gardolo (Tn) 2008.
Sezione Mathesis di Pesaro, NRD Parma. Modelli dinamici e nuclei fondanti nell'insegnamento della. matematica, Atti Convegno Nazionale UMI-CIIM, Salsomaggiore 2000.
I. Fiorentini, P. Orioli, l marmi antichi di San Vitale, Edit Faenza 2003.
O. Beigbeder, Lessico dei simboli medievali, Jaca Book, Milano1989.
www.larici.it
www.arte-click.it
www.antropalogiaartesacra.it
Notas
1 También sigo desde algunos años los congresos, las exhibiciones, las iniciativas de actualización organizadas por Bruno d'Amore y por el grupo Ricerca e Sperimentazione in Didattica e Divulgazione della Matematica (RSDDM) de la Universidad de Bolonia.