Una rica experiencia, que documenta la inconsistencia de una difundida actitud hacia la Geometría: se considera una materia abstracta, difícil de enseñar y de aprender.
Un profesor toma en serio la experiencia como método, y propone a sus niños, desde la primera clase de la escuela primaria, actividades adecuadas y placenteras, que introducen a la visión geométrica del mundo que los circunda.
Partiendo de simples pero bellas construcciones tridimensionales, se pasa del espacio al plano, se utiliza la representación gráfica, se desarrolla el lenguaje y la reflexión. Los niños se apasionan y se involucran sin exclusiones, el profesor recoge el resultado de un aprendizaje articulado y estable.
Las actividades descritas han sido desarrolladas en los años escolásticos desde 2011 al 2014 y han sido discutidas por el Grupo de Investigación “Educar Enseñando” — Matemática – promovido por la Asociación “El riesgo educativo”, coordinado por Raffaella Manara y Armida Panceri)
En la escuela primaria la Geometría puede comenzar desde los primeros años, pero cierto ¡no de definiciones y de fórmulas! Partiendo de la experiencia, los niños pueden hacer muchas conquistas y adquisiciones geométricas.
La Geometría, en efecto, no enseña algo sobrepuesto a lo real sino guía para dar un nombre a las formas y a los objetos, para reflexionar sobre aquello que los ojos ven. Ella ayuda a educar la mirada atenta y curiosa con la cual los niños miran la realidad, enseñando a captar comunicaciones, relaciones, similitudes, correspondencias. Los objetos de la Geometría son para correlacionar, no sólo para catalogar.
El trayecto propuesto de primero a tercero de primaria en una clase de la escuela “San Paolo” de Pogliano Milanese, parte de la experiencia, prevé actividades articuladas, en un contexto rico y complejo, lleno de elementos por descubrir; alcanza luego muchas definiciones, que son la síntesis final del trabajo.
El contexto inicial es tridimensional, porque es éste el ámbito más adecuado para la consciencia perceptiva de los niños, que se mueven y se relacionan en un espacio en tres dimensiones. Procediendo con el trabajo en las clases sucesivas se impulsan hacia adelante las capacidades explorativas: se pregunta si aquello que es verdad para las figuras manejadas y observadas en el espacio puede valer también para las figuras en el plano. Transfiriendo el trabajo y el pensamiento al plano, se aprenden cosas nuevas usando aquellas ya conocidas, alargando así el conocimiento y la razón.
Mirando atrás el trabajo, del cual se ofrece una síntesis, se reconoce que la Geometría no es aquel hueso duro que se describe, no es difícil porque es abstracta; al contrario, las ideas emergen en modo espontáneo en las actividades propuestas, y la guía del profesor permite elaborar y fijar los conceptos, las palabras, las definiciones.
En Primero se parte del juego
La idea de la primera actividad es ofrecida por un juego que los niños prefieren en el descanso, con algunos animalitos de peluche y su establo. Tienen a disposición también algunos personajes, el granjero y su familia, pero para éstos falta la casa: la maestra propone a los niños que la construyan.
Se recogen cajas de cartón y se proyecta la casa para el granjero; los niños proponen comenzar por la habitación de los padres (la cama de los padres es el lugar de llegada consolatorio para cada niño…). Se usan cajas, pintadas o revestidas de tela, para hacer la cama, los nocheros, el armario, mientras la maestra prepara la habitación, con una caja que tiene el suelo y tres paredes.
Se posiciona la decoración toda en la pared del fondo, que viene completada también con sábanas, cobijas, almohadas: ¡la habitación debe ser bella y precisa en cada detalle!
Cuando la habitación es completada, la maestra pide a los niños que hagan un dibujo, sin dar más indicaciones, para mostrar el trabajo a los padres. La representación gráfica es un elemento de paso importante en una actividad para su elaboración, por eso es un elemento de estabilización del aprendizaje.
Comparando los dibujos de los niños, se nota que veintidós niños han elegido la vista de frente, tres niños han intentado dibujar la planta de la habitación. Muchos dibujos contienen errores o imprecisiones, por ejemplo, en algunos no todos los objetos son representados como vistos desde el mismo punto de observación.
En la imagen siguiente el armario es visto de frente, pero la cama es vista desde lo alto.
De aquí se parte de nuevo: la maestra pide observar mejor el modelo construido, especificando, ahora, el punto de vista, y pide hacer nuevos dibujos.
Primero todos miramos el modelo de frente (imagen siguiente): a este punto, ¡todos son correctos!
Luego se repite la observación (se vea la imagen que sigue), eligiendo la vista desde lo alto, y se dibuja la planta de la habitación: es una tarea muy compleja, y muchos niños están en dificultad.
Entonces, como paso intermedio, la maestra dibuja con los niños el perímetro de cada objeto sobre el suelo de la habitación (se vea la imagen que sigue), luego se quitan los objetos y todos reconocen fácilmente qué representa cada figura que ha quedado en el dibujo, y sucesivamente todos logran rehacer el dibujo del plano.
La seconda actividad es desarrollada por los niños libremente, trabajando en grupos de tres. Retoman las cajas y cada uno construye algo: las transforman en naves, automóviles, autobuses, jardín, comedor…. luego cada niño elige dos puntos de vista diferentes para observar y dibujar su trabajo: ¡los dibujos son correctos! Los niños han comprendido y aceptado que, cambiando el punto de vista, cambia la imagen reproducida: la realidad tiene muchas caras y hace falta mirarla desde muchos puntos de vista para conocerla mejor.
El tercer paso es dibujar en un cartel grande el perímetro de todos los trabajos realizados por los niños, pidiéndoles identificarlos a partir de las formas trazadas. Se descubre así la posibilidad de usar un «lenguaje» particular para describir la posición de un objeto sobre un plano, su «huella».
Se hace el juego de las huellas: ¿cuál es la nave? ¿Cuál es el automóvil?
Esto permite volver, aunque haya pasado un poco de tiempo, al primer modelo de la habitación.
¿Cómo estar seguros que nadie haya cambiado la posición de las decoraciones?
Ahora es claro para los niños que ¡basta controlar los perímetros que habían hecho en el suelo!
Entonces aún se puede dar un paso adelante. La maestra propone un piso nuevo, con trazados diferentes. Los niños intentan posicionar las decoraciones de la habitación como indican los dibujos, pero las formas no corresponden: en pocos minutos los niños se dan cuenta que ya no se trata de la habitación de los padres, sino de otra, que reconocen ser aquella de los niños. Así, con la ayuda de la maestra, se agrega otro modelo, aquel de la habitación de los niños (se vea la imagen siguiente), que cada uno espontáneamente parangona con la propia habitación.
El año se concluye con actividades de paso desde el modelo al plano y viceversa: son de nuevo los niños que construyen, alternando la propuesta de la maestra a la iniciativa propia. Utilizando piezas de construcción de madera, se parte del dibujo y se construye en vertical, luego se pide dibujar planos utilizando las piezas y cambiarlas con los compañeros.
La creatividad no tiene límites, pero la hoja sí: ¿cómo se diseña el plano de una torre compleja de cubos de madera, columnas y frontones? Regresan todos juntos al primer modelo: se puede representar utilizando también las paredes de la habitación, ¡he aquí la idea genial (se vea la imagen siguiente).
Cada uno ahora puede regresar a diseñar el propio proyecto y algunos niños se distinguen por la precisión y la cura en los detalles; alguno que ha decidido inserir columnas en su construcción llega casi al desarrollo del cilindro. Se comienza también a usar términos como horizontal y vertical.
La Geometría ha sido por todo el año una actividad placentera y atrayente, que ha involucrado a todos los niños activamente, y ha producido capacidad de observación, comunicación, verbalización, reflexión y representación.
En Segundo aclaramos los términos
¿Cuándo hacemos geometría? Es la pregunta de los niños desde el inicio del año, pregunta que expresa toda la positividad del trabajo iniciado en primero. La idea para recomenzar viene del trabajo que los niños están haciendo en el gimnasio con el profesor de educación física: recorridos, derecha/izquierda, adelante/atrás, dentro/fuera.
En el salón de clase está aún el modelo del año pasado, comenzamos de nuevo a mirarlo. La maestra pide reconocer las relaciones espaciales entre los objetos: a tu derecha hay… o : a la derecha de quien está en la cama hay… No siempre es fácil responder: tenemos necesidad de experimentar, de construir, de comparar las ideas sobre un objeto que todos juntos tenemos enfrente, para que los aprendizajes se vuelvan más estables, más seguros, en un contexto que enriquezca.
Pensamos entonces en un modelo más grande, involucrando en la construcción también a los padres: buscamos grandes cajas para construir un nuevo paisaje, un entero pueblo en el cual podernos mover. Se preparan las casas, se pintan con rodillos como hacen los pintores y con pintura mural con las témperas que usamos habitualmente (se vea la imagen siguiente).
En el proceder del trabajo se piensa en lo que no puede faltar en un pueblo: casas, iglesia, tiendas, alcaldía, museo, oficinas. Habrá también una escuela como la nuestra, y, como siempre, se construye con gran atención los detalles: la realidad es compleja y articulada.
Con grande y apasionado empeño de todos, el pueblo es realizado (se vea la imagen que sigue): se llamará La ciudad de los niños, está hecho de diez edificios (incluyendo el rascacielos de las oficinas) bastante grandes, que quedan a disposición por algunas semanas en un local adyacente al gimnasio. Sucesivamente, en Navidad, ¡nuestras casas se transforman en el pesebre de la escuela!
Ahora, cuando la maestra pide dibujar el pueblo, está claro que hay un sólo modo para dibujar todo: hacer un plano. Las dimensiones de las casas sin embargo son tales que los niños no pueden verlas desde lo alto: entonces los niños trabajan en la plaza del pueblo, imaginando estar «colgados del techo».
Al final se comparan los dibujos, y también esta vez no todos son exactos. Los niños comienzan a reconocer en sus plantas los varios edificios, corrigiéndose: «¡la Iglesia debías haberla puesto frente a la farmacia!» Se discute también sobre la forma del techo: ¿cómo es visto desde lo alto?
Se dibuja un plano en el tablero escuchando las sugerencias de todos, y se llega a diseñar una planta definitiva, reconocida por todos como exacta; a ésta se agregan también los andenes
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En ella los niños ejecutan recorridos y los describen, describen el recorrido seguido por otro, dan indicaciones a un compañero que realiza un recorrido. Saben también decir qué es posible ver desde un determinado punto del Pueblo (teniendo los ojos vendados) y qué puede ver un compañero desde su posición. Saben leer una planta y cambiar la posición de las casas del pueblo (representadas por cartones modelados) siguiendo un nuevo diseño.
Ya nadie habla de cajas sino de «casas»; entonces la maestra reinicia de aquí, haciéndolos reflexionar: ¿qué es una caja de cartón? ¿Por qué una caja no cae, en cambio un papel no queda en pie? Se discute animadamente y se observa que también el gimnasio en el cual estamos tiene la forma de las cajas de cartón.
Se estudia una caja: se apoya sobre hojas grandes y una después de la otra se dibujan todas las caras, luego se tallan, se comparan. Se pegan todas las partes talladas y se reconstruye la caja de papel (se vea la imagen siguiente).
¿Y si entráramos? Tratamos de entender qué se ve dentro. Una niña dice: «dentro se ven los pliegues de la caja», se llaman bordes (son como los pliegues del origami que hacemos de tanto en tanto). Y se ven los ángulos. Se aclara que los ángulos no son los bordes y no son tampoco los diedros.
El trabajo de Geometría tiene una segunda etapa cuando una mañana la maestra, por el cambio de lugares, entrega a los niños un plano del salón de clase. Al día siguiente, el plano está dibujada en el tablero y después de haber buscado el proprio lugar cada uno debe dibujarla en su cuaderno, evidenciando su propio pupitre. Estamos volviéndonos expertos en modelado y en paralelepípedos: ¡hagamos el modelo de nuestro salón de clase! La maestra prepara la caja que representa el aula y los niños tallan, pegan y se posicionan a sí mismos sentados en el pupitre (se vea la imagen siguiente).
Ha sido fácil, porque cada uno tiene puntos de referencia, así comenzamos a describir una posición o un recorrido como jugando a batalla naval, y se aprende a leer los puntos en el plano cartesiano.
Continuamos el trabajo alargando la perspectiva. A través de una serie de imágenes de edificios o de detalles arquitectónicos interesantes, se concentra la atención en las diferentes formas de las casas. Todos tenemos en mente una imagen de casa, pero en el tiempo y en los diferentes lugares del mundo la idea de casa no es precisamente la nuestra. Aun edificios que no se usan como habitaciones tienen formas interesantes.
Comenzamos a dar un nombre a las formas que hemos aprendido a reconocer y observamos sus características: clasificamos poliedros y no poliedros, comenzamos a construir nosotros mismos los sólidos, utilizando la masilla plastilina (se vea la imagen siguiente).
La esfera no crea problemas, pero la maestra se da cuenta que, para hacer un cubo, una tercera parte de los niños trata de hacer una cajita vacía dentro: hace falta ayudar a los niños a no identificar los sólidos con su superficie.
Trabajamos intensamente con la plastilina por algunos días, y al final sabemos describir mucho mejor las características de los sólidos. Aprendemos así a denominar las figuras, a clasificar los sólidos explicando el criterio usado.
El paso ha sido posible porque los niños han tenido en mano y continuamente sopesado la consistencia del material, librándose de la idea que el sólido fuera la caja, y las verificaciones propuestas han demostrado una adquisición sólida de los conceptos y los términos.
En Tercero se pasa al plano, a través del arte
En tercero - clase en la cual normalmente se inicia el trabajo de geometría – partimos observando los objetos de uso cotidiano: ¿qué forma tienen? Algunos objetos que tenemos en clase tienen formas muy complejas, es más fácil dibujarlas que describirlas. Narrar por imágenes es precisamente aquello que hacen los pintores: cada artista habla de una mirada particular sobre la realidad.
Comenzamos a reflexionar observando, por ejemplo, tres diferentes representaciones de un toro (se vea la imagen siguiente).
La maestra presenta luego a dos grandes artistas, que han tenido una fuerte referencia a la visión geométrica.
Piet Mondrian produce una extrema simplificación de las formas; escribe un niño como conclusión del trabajo: «Yo no había probado nunca a hacer así los dibujos, un árbol yo lo hacía de otro modo: no quitaba los detalles, a lo mejor los agregaba!».
Antoni Gaudì afirma: «La línea recta es la línea de los hombres, aquella curva la línea de Dios».
¿Quién tiene razón? se preguntan los niños. Y aún: «La naturaleza es como un libro para leer, es como un maestro». Se observan imágenes; luego, inspirados por el artista, proyectamos un objeto de uso común, el lápiz, pensando en las formas de la naturaleza. Por tanto realizamos el proyecto con la plastilina (se vea la imagen siguiente).
Continúa el recorrido apoyado por el arte: de la forma a la realidad. «El arte no reproduce lo que es visible, sino hace visible lo que no siempre lo es».
Mirando una obra de Paul Klee (se vea la imagen que sigue), los niños reconocen: « ¡Es una ciudad!», la maestra: «son cuadrados, triángulos, rectángulos, un círculo…»
Entonces comenzamos a mirar las formas de la Naturaleza, e identificamos algunas formas geométricas (se vea la imagen siguiente).
Porque estamos trabajando con fotocopias, por tanto en hojas de papel, nos preguntamos: ¿qué diferencia hay respecto a los sólidos del año pasado? «Las hojas son planas mientras los sólidos tienen también profundidad». Entonces damos un nombre a las figuras geométricas que hemos reconocido en la naturaleza: triángulo, cuadrilátero, pentágono, hexágono… Los dibujamos con lápiz y regla en una hoja y describimos sus características (lenguaje espontáneo de los niños).
No sólo en las formas naturales podemos reconocer los polígonos, sino también en los objetos construidos por el hombre.
Como tarea conclusiva del año, los niños construyen triángulos y cuadriláteros con tiras de papel coloradas que unen con clip, haciendo así muchos descubrimientos. (se vea la imagen siguiente)
Damos un nombre al contorno de las figuras dibujadas, lo llamamos perímetro, y calculamos su medida.
Estamos al final del recorrido del año. Repensamos en Mondrian y tratamos también nosotros de quitar de nuestro trabajo con la mente los colores, el espesor de las tiras de cartón, los clip….
Comenzamos a abstraer las formas que hemos aprendido a reconocer, pasando a los objetos de la Geometría.
