¿La Manzana o la Luna de Newton?
autor: Vittorio Banfi
fecha: 2009-08-12
fuente: SCIENZA&STORIA/ La Mela o la Luna di Newton? L'itinerario concettuale verso la Forza Gravitazionale
(CIENCIA&HISTORIA/ ¿La Manzana o la Luna de Newton? El itinerario conceptual hacia la Fuerza Gravitacional)
Pubblicato en el n° 36 de Emmeciquadro
traducción: María Eugenia Flores Luna

El itinerario conceptual hecho por Newton para llegar a describir el movimiento de los planetas partiendo de las leyes de la dinámica estaba sembrado de obstáculos, también porque faltaban los instrumentos matemáticos para traducir en fórmulas las intuiciones físicas. El autor muestra los pasos esenciales. Primero la deducción de la fórmula de la aceleración del movimiento circular uniforme, con método que introduce a la derivada. Luego, algunos años más tarde, el trabajo sistemático, que llevó a la deducción de la fuerza de gravitación a partir de las leyes de Kepler. Punto esencial del trabajo, que solicitó a Newton la invención de la derivada, fue la demostración de que la fuerza ejercitada por un cuerpo celeste equivale a aquella ejercitada por un punto material puesto en su centro y con masa igual a la masa total del cuerpo. En fin el autor señala el hecho que el test de la validez universal de las leyes newtonianas ha sido, en tiempos recientes, el envío de los satélites artificiales.

Durante una tarde de verano Isaac Newton se sentó bajo un manzano: un fruto, se desprendió del árbol, cayó golpeándole la cabeza. Entonces él pensó que, como un cuerpo es atraído por la Tierra, así en el espacio cósmico los planetas «caen» hacia el sol, pero no se acercan porque una fuerza opuesta y equivalente los mantiene a distancia. De aquí vino la intuición de la gravitación universal. Esta narración hoy ya no goza de alguna credibilidad: ella está reportada en la obra completa de Voltaire, que afirmaba haberlo escuchado de una sobrina de Newton [a]. Sin embargo un manzano fue largamente indicado a los visitadores como el objeto inspirador del genio.

Más allá de la ironía sobre este relato, en el presente artículo se intentará describir la entera historia conceptual del fundamental descubrimiento.

De una intuición de Plutarco

El autor de Vidas paralelas (46-120 d.C.) escribió también, entre otros, un pequeño tratado con título De facie in orbe Lunae [b]. Él fue sostenedor de una teoría de la gravitación según las cual los centros de la Tierra, del Sol y de la Luna, eran varios centros de atracción independientes.

Notable es el paso siguiente «La Luna recibe garantía de no caer, justo de su movimiento y del impulso de su revolución, exactamente como las piedras puestas en la honda no pueden caer por el movimiento circular vertiginoso; en efecto cada cosa es arrastrada por su simple movimiento natural sólo si no es desviada por alguna otra cosa. La Luna por tanto no es atraída hacia abajo por el propio peso, porque su natural tendencia es frustrada por la revolución. Y más bien, sería motivo de maravilla si ella estuviera firme siempre en el mismo lugar como la Tierra».

La lectura de este pasaje, excepcional en cada proposición suya, ha ciertamente sido para Newton una gran fuente de inspiración con el fin de llegar al descubrimiento de la gravitación universal.
En una colección de manuscritos newtonianos (1), se encuentra un apunte, escrito por Newton a tarde edad, en el que se lee textualmente « […] deduje en 1666 que las fuerzas que mantienen los planetas en sus órbitas deben ser recíprocas a los cuadrados de las distancias de los centros entorno a los cuales giran: donde, parangonando la fuerza necesaria que mantiene la Luna en su órbita con la fuerza de gravedad sobre la superficie de la Tierra, encontré que correspondían muy bien […]».
Todo esto a los 24 años, aún estudiante, durante la gran peste que, de Cambridge lo hizo reparar en Woolsthorpe, su « salvaje pueblo natal ». Examinamos los varios estadios del razonamiento completo seguido por Newton.
Ante todo está el cuidadoso estudio del movimiento circular uniforme de un punto móvil en torno a otro punto fijo C dicho centro.

Las grandezas cinemáticas v y ω eran conocidas, en los tiempos de Newton, pero no lo era la aceleración centrípeta, que obligaba el punto móvil P a la circunferencia dada, de radio R, con velocidad constante en amplitud v = ωR, siendo ω la velocidad angular del mismo punto móvil. La velocidad v es dicha, por obvias razones, también velocidad tangencial.
La primera tarea de Newton fue calcular la aceleración centrípeta en función de ω y de R. A cierto momento el punto móvil transita en Po. Su velocidad v es directa tangencialmente. Después de un intervalo de tiempo Δt, bastante pequeño, el punto móvil se ha desplazado a P1. Ese está ahora dotado de una velocidad tangencial idéntica (en amplitud) v, el sentido es aún anti horario pero con dirección variada de una pequeña entidad Δv.
Examinando la imagen a la derecha [Construcción geométrica para evaluar la variación Δv, en el movimiento circular uniforme, que provoca la aceleración centrípeta], se ve la variación Δv, que dará lugar a la aceleración centrípeta (comprendida entre Po’ y Po’’ y directa hacia el interno de la circunferencia), tiene una amplitud prevista por la fórmula Δv ≈ v ω Δt .

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[fig. 1]

Para demostrar eso llevamos paralelamente el vector velocidad (marcado P1) hasta portar el origen a Po y representémoslo para más claridad con la línea punteada.
Entonces es fácil ver que, siendo Δv + (v)enP0 = (v)enP1 , la amplitud de la variación Δv se desvía muy poco del pequeño arco de circunferencia (centro en Po y radio v = ω R) que subyace el ángulo ωΔt. Por tanto Δv ≈ vωΔt = ω2RΔt, como se quería demostrar.

Además Δv es directo casi como el rayo P1C. Tomando un intervalo de tiempo mayor Δt1 > Δt, eso no es verdad. En tal caso el arco P1Po’’’, no siendo ya bastante pequeño, difiere de la cuerda: sigue que ya no es válida la fórmula que acabamos de proponer por Δv y el mismo vector variación ya no tiene la dirección que pasa por C.
Razonando por continuidad, en una sucesión Δt1 > Δt2 > Δt3 … > Δt nos acercamos siempre más a la condición precedente con Δt. Si se asumen pues en toda la circunferencia muchos arcos de igual amplitud ω Δt y se suman juntos obtendrán:

variación total (Δv)tot ≈ ω2 R ∑ Δt = ω2 R T

O sea aún:

ac = variación total en un periodo (Δv)tot =(Δv)tot ≈ ω2R intérvalo de tiempo de la variaciónT T

O sea la aceleración centrípeta buscada.
El proceso continuo con el cual se pasa, del polígono con lados iguales, a la circunferencia circunscrita era ya bien conocido en la matemática de la antigua Grecia, como también era conocido para Newton el cálculo vectorial elemental (grandezas vectoriales, paralelograma de las fuerzas…) después de los estudios de Galileo y de los otros matemáticos a él contemporáneos.
Es interesante observar que en la fórmula

(i) ac = ω2 R ,

o mejor en su derivación del 1666, está contenida en resumen la intuición de los infinitesimales (el intervalo Δt es casi infinitesimal) y del cálculo integral.
Se puede afirmar que la relación (i) es obtenida al límite del paso del polígono a la circunferencia.

Y ahora vamos a la segunda parte del razonamiento.
En la proposición IV del III libro de los Principia [3] se lee: «La Luna gravita hacia la Tierra y es siempre distraída por el movimiento rectilíneo y retenida en su órbita por la fuerza de la gravedad».
Veamos ahora cómo evoluciona el razonamiento. Con la relación (i) ha sido demostrada la fórmula que proporciona la aceleración centrípeta, en el caso de órbita circular. La distancia Tierra–Luna es asumida igual a 384000 km y la velocidad angular ω = 2,653 10-6 rad s-1.

Entonces tenemos: aceleración centrípeta de la Luna ac = 2,703 10-3 m s-2; formando la relación:

aceleración de la gravedad a la superficie terrestre = 9,81 aceleración centrípeta de la Luna 2.703 103

se obtiene 3629,3 (que difiere, del 8‰, de 3600 = 602). Ha sido tenido en cuenta que el rayo medio de la órbita lunar es igual a 60 veces el rayo de la Tierra (relación más que valida también hoy).
Por tanto se puede concluir con Newton que la aceleración centrípeta, debida a la gravedad de la Tierra, en la superficie de ésta última, está a la aceleración centrípeta de la Luna, en su movimiento en torno a la Tierra, como el cuadrado del rayo orbital lunar está al cuadrado del rayo terrestre.
De las aceleraciones se pasa a las fuerzas motrices multiplicando simplemente por las masas de los cuerpos relativos (II° ley de la dinámica newtoniana) y por tanto las fuerzas de gravedad decrecen con el cuadrado inverso de las distancias del centro atrayente.

Hacia una completa y general teoría de la gravitación

Al final de la proposición IV (III° libro de los Principia), citada en el precedente parágrafo, se encuentra uno escolio que se concluye con las siguientes palabras: «Por tanto la fuerza, por efecto de la cual la Luna es retenida en su propia órbita, será la misma a la que estamos acostumbrados a llamar gravedad». Newton reconoce que el movimiento de las piedras en caída, aquel de las manzanas de los respectivos árboles, aquel de la Luna, no son más que efectos particulares de la fuerza de gravitación universal, siempre en acción entre dos cuerpos cualesquiera. En los casos simples el movimiento completo puede venir descrito y predicho con el auxilio del análisis matemático. En casos más complejos la descripción es aún más complicada, pero los principios fundamentales son los mismos.

Regresemos a la precisión del cálculo contenido en el parágrafo precedente: hace falta tener presente que dicho cálculo es una primera aproximación. Ha sido justamente dicho que eso no daba un acuerdo numérico satisfactorio, porque el valor del radio de la Tierra y de los otros datos astronómicos usados por Newton no eran correctos. Por ejemplo la forma elíptica de la órbita de la Luna (con una excentricidad igual a 0,0549) tenía que influir en el resultado y Newton estaba perfectamente consciente. La demostración más exacta y completa, como veremos sucesivamente, fue alcanzada por Newton cerca de 18 años después.
Había luego una ulterior dificultad. El cálculo es simple sólo si no se consideran las dimensiones de la Luna y de la Tierra y se piensa que, por los efectos sobre los puntos externos a ellas, sus masas actúen como si estuvieran concentradas en puntos coincidentes con su centro geométrico.

Es una historia larga y compleja dar una explicación detallada de la investigación incesante de Newton, a partir del primero pero muy genial cálculo de 1666, hasta alcanzar su objetivo: una completa y racional teoría de la gravitación aplicada al movimiento de los astros. La explicación diacrónica de esta investigación es ardua a causa de la falta de documentos, noticias, dilucidaciones de parte del mismo Newton.

No se puede decir de todos modos que, en los 18 años anteriores, Newton se haya ocupado sólo de esta gran síntesis: da fe, en todo caso, la amplitud de las temáticas que ocupan el II Libro de los Principia [d]. Ellas en efecto comprenden problemas particulares sobre el movimiento de los proyectiles en un medio resistente, la hidrostática, la fluidodinámica de los líquidos viscosos y más aún; sobre todo esto dominaba, en la mente de Newton, el programa de síntesis antes citado. Los datos iniciales ya estaban presentes: las tres leyes de Kepler. Se reclamoan en seguida por comodidad.
I° Ley (o de la excentricidad de las órbitas)
Cada planeta cumple revoluciones alrededor del Sol siguiendo una órbita elíptica de la cual el centro del Sol ocupa uno de los focos.

II° Ley (o de las áreas)
Cada planeta se mueve sobre su órbita de modo tal que es constante en el tiempo el área descrita del rayo vector (o sea el segmento que une al centro del Sol es el centro del planeta)

III° ley (o de la armonía del mundo)
El cuadrado del tiempo de revolución de cada planeta es proporcional al cubo del semieje mayor de la órbita
.
Newton se propone demostrar, partiendo de estas leyes experimentales (o mejor observativas), que surgía, como consecuencia lógica y necesaria, la ley de gravitación.

Él inició el estudio matemático de la II° Ley; se tenga presente, como inciso, que estas leyes de Képler no habían sido tenidas en la debida consideración por los científicos del Seiscientos. En particular la mayor parte de las obras de astronomía de este siglo no citaban ni siquiera la II° Ley. Fue Newton el único científico quien elevó esta ley de las áreas a la consideración de la cual ella goza hasta ahora, y a emplearla agudamente para alcanzar su objetivo teórico. Él demostró que tal ley es una condición necesaria y suficiente para el movimiento central de cada cuerpo en el espacio.

Se dice movimiento central, aquel movimiento en que el objeto móvil es antepuesto a una fuerza constantemente directa hacia un punto central (o también dicho centro del movimiento). Vale decir, todas las veces que un cuerpo móvil está sujeto a una fuerza central, entonces respeta, durante su movimiento, la ley de las áreas; inversamente todas las veces que un cuerpo se mueve alrededor de un punto central respetando la ley de las áreas, entonces tal cuerpo está sujeto a una fuerza constantemente directa hacia el centro del movimiento.

Esta demostración matemática introduce una mecánica celeste radicalmente nueva, porque se funda en conceptos de cantidad de movimiento, de masa, de inercia, de momento angular y de fuerza dinámica. Ya en apertura del tratado de Kepler [y] Astronomía nova (1609) es propuesto el objetivo de fundar una Physica coelestis basada en causas mecánicas. Newton realizó este programa, del cual Képler había tenido sólo una intuición. Sucesivamente Newton se dispone a desarrollar su nuevo y original método de cálculo, dicho de las fluxiones, el padre del actual cálculo infinitesimal e integral [f,g].

En estas circunstancias el estilo newtoniano se revela plenamente: consiste en un intercambio repetido entre una construcción matemática y la realidad física. Y se llega también al punctum dolens en la elaboración de la teoría de la gravitación. Hace falta en efecto despejar la duda ya avanzada en el parágrafo precedente "De una intuición de Plutarco": ¿un hombre, sobre la superficie terrestre, experimenta la atracción como si toda la masa de la Tierra estuviera concentrada en el centro terrestre o no?

La respuesta es afirmativa y está contenida en el I° Libro de los Principia en dos teoremas: proposiciones LXX, teorema XXX y proposiciones LXXI, teorema XXXI. (2) Ambos han sido definidos por W. L. Glaisher «teoremas superbos».[h] Para una demostración muy clara y detallada, véase el excelente artículo de M. Galuzzi [i].

Quedan la I° y la III° Ley de Képler por utilizar, para completar la investigación. Tenemos un cuerpo primario, el Sol, del cual se puede ahora proponer el «modelo físico» desde el punto geométrico dotado de masa, en una palabra compuesta el «punto–masa”. A mayor razón el planeta, es decir el cuerpo secundario, será asimilable también al «punto–masa», que cumple revoluciones entorno al primario.

Es conocida, por la III° ley de Kepler, la órbita de este último: es una elipsis del cual el Sol ocupa uno de los dos centros. ¿Cuál es el tipo de fuerza central experimentada por el planeta?

La respuesta está reportada en el I° Libro de los Principia, en la proposición XI, problema VI, que dice «Un cuerpo gira a lo largo de una elipsis si requiere la ley de la fuerza centrípeta [central] cuando tiende al centro de la elipsis». La demostración es de tipo geométrico y muy sintética. Newton concluye «la fuerza centrípeta es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia SP», donde S es el punto–masa Sol y P el punto–masa planeta. Para una demostración más completa y didácticamente más eficaz, para el lector contemporáneo, se aconseja el óptimo artículo de J. T. Cushing, De las leyes de Kepler a la ley de la gravitación universal [j].

Hace falta observar que, con el modelo punto–masa tal ley asume la siguiente formulación: «Dado el punto–masa MS (con MS se indica la masa del Sol) y el punto–masa mP (con mP se indica la masa del planeta), distante r, la fuerza con la cual el Sol atrae el Planeta FPS y la fuerza con el cual el planeta atrae el Sol FSP son ligadas por las fórmulas

(ii)

FPS = FSP=MS mp [Con G constante de gravitación universal] r2

En general dos puntos–masa m1 y m2, puestos a distancia r, se atraen mutuamente con una fuerza directa a lo largo de la línea que los une teniendo la intensidad:

(iii) F= G m1 m2
(iv)
r2

por tanto la fuerza que el punto m2 ejercita sobre el punto m1 y aquella que el punto m1 ejercita sobre el punto m2 son iguales y opuestas.

La (iii), unida a las tres leyes de la dinámica de Newton, funda la mecánica celeste clásica. Este resultado, alcanzado por Newton probablemente en 1684, tenía que tener inmediatamente tantas aplicaciones, contenidas en los Principia (publicado en 1687). Entre las más importantes citamos: la explicación de los complejos particulares del movimiento lunar, del fenómeno de las mareas, de la precesión de los equinoccios, de la equivalencia entre masa gravitacional y masa inerte (tan importante para la génesis de la teoría de la relatividad) y de otros aún.

Además de la demostración de la existencia de las órbitas no sólo elípticas, sino también parabólicas y hiperbólicas, extiende la familia de las órbitas a todas las secciones cónicas de Apolonio de Perge.
Se puede afirmar en fin que quizá ninguna extrapolación, en la cosmología moderna y contemporánea, iguala por audacia intelectual el colosal salto cumplido por Newton con derivar la dinámica de los planetas y de los cometas, de los efectos gravitacionales observados en la Tierra.

El nacimiento de la astrodinámica de los satélites artificiales y de las sondas interplanetarias

A partir del lanzamiento del Sputnik (octubre 1957) la posibilidad de extrapolación, de la cual se ha hablado al terminar el precedente parágrafo, no había nunca sido sometida, por decir así, a «prueba», por el simple motivo que los medios técnicos, a disposición del hombre, no consentían conducir experimentos controlados. Nos debíamos conformar con lo que la naturaleza «generosamente» nos prodigaba.

Desde aquel octubre 1957 nace la astrodinámica de los satélites artificiales y desde entonces la mecánica celeste se vuelve también una ciencia experimental–operativa. Si piensas, por ejemplo, al cálculo, a la preparación–experimentación y a la realización de una operación de fly–by de una sonda espacial hacia Saturno. [k]

Asombrosas son las intuiciones newtonianas de las órbitas de los satélites artificiales y de las sondas espaciales.

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[fig. 2]

En el Sistema del mundo [c] se encuentra la imagen a la izquierda [Lanzamiento de un proyectil de la cima de un monte], acompañada del siguiente comento: «Es el movimiento de los proyectiles a explicar cómo los planetas puedan ser retenidos por fuerzas centrípetas en órbitas determinadas. Si arrojamos una piedra, ella, impulsada por su gravedad, se desviará de un curso en línea recta, describirá una trayectoria curva en el aire y finalmente caerá a tierra. Según sea mayor la fuerza con la cual ha sido lanzada, la piedra irá más lejos. Aumentando la velocidad, podría describir un arco de uno, dos, cinco, diez, cien, mil millas, hasta que impulsada más allá de los confines de la Tierra, ya no caería sobre ella.

Si indicas con AFB la superficie de la Tierra, con C su centro; y con VD, VE, VF, las líneas curvas que describe el proyectil, sucesivamente lanzado con diferentes grados de velocidad, siempre mayor, desde el vértice V de un monte muy alto, según líneas paralelas al horizonte. A fin de que no venga considerada en el cálculo la resistencia del aire, que difícilmente puede retardar los movimientos celestes, imaginemos que ella haya sido completamente suprimida, o que al menos no oponga ninguna resistencia.

La misma razón por la cual un cuerpo, dotado de menor velocidad, describe un arco menor VD, y, dotado de una velocidad mayor, un arco mayor VE, y, aumentando aún su velocidad, se impulsa más lejos hasta F y más lejos aún hasta G, hace que, si se continúa a aumentar la velocidad, este mismo cuerpo logrará superar el ámbito de toda la Tierra, y regresará al monte, desde donde había sido lanzado. Y puesto que, conducido un rayo al centro de la Tierra, el área descrita es (por la Proposición I del I° Libro de los Principia Matemática) proporcional al tiempo, su velocidad, tornando al monte, no será menor de aquella inicial: conservada por tanto la velocidad, tal cuerpo podrá girar más veces según esta misma ley.

Imaginemos ahora que los cuerpos vengan lanzados en dirección horizontal por regiones aún más altas: altas, por ejemplo, cinco, diez, ciento y mil y más millas, u otros tantos semidiámetros terrestres; entonces en relación a la diferente velocidad de los cuerpos y a la fuerza de gravedad ejercitada en las zonas individuales vendrán descritos arcos concéntricos en la Tierra, o diversamente excéntricos respecto a ella. En estas trayectorias los cuerpos continuarán a recorrer los ciclos a semejanza de los planetas.»

En la imagen arriba a la izquierda es representado esquemáticamente el pico de una montaña que se yergue en la superficie terrestre y de cuya cima se lanzan proyectiles con varias velocidades iniciales. En las trayectorias VD, VE, VF, y VG la velocidad inicial dada no es suficiente, come en el caso de la órbita circular en negrita, a establecer el cuerpo lanzado en una circunferencia con centro coincidente con el centro de la Tierra C.
No obstante: los casos precedentes VD, VE, VF, VG no son más que vuelos suborbitales (en la astrodinámica actual)

Como se ve en la imagen a la derecha, que representa las trayectorias suborbitales de una sonda, la sonda es lanzada en L1 y toca nuevamente el suelo terrestre en L2. En (a) la porción de la órbita es una elipsis (que se completaría en la parte de línea punteada) con un centro en F, coincidente con el centro terrestre.

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[En la imagen fig. 3: L1 y L2 son el punto de lanzamiento y aquel de destinación, H y h0 son las alturas máximas sobre el suelo terrestre, F es un foco de la elipsis (el centro terrestre)]
Una situación análoga es representada en (b), en la cual el arco de trayectoria pertenece a una elipsis que se completaría mayormente al interno de la Tierra teniendo siempre un foco en coincidencia con el centro terrestre.

El caso de la órbita circular, representado en la imagen a la izquierda [Introducción de un satélite artificial en una órbita geoestacionaria circular. Es dicha geoestacionaria la órbita de un satélite artificial yacente en el plano ecuatorial terrestre, cuyo periodo es igual al periodo de rotación terrestre], es aún más interesante: se ve el lanzamiento de un satélite artificial sobre una órbita de estacionamiento elíptica E. El ingreso en tal órbita está en el punto P1 que corresponde, semánticamente, a la cima del monte representado en la primera imagen a la izquierda en esta página. Luego, mediante el impulso de encendido de un cohete propulsor en el punto P2, el satélite artificial se mete en una órbita prácticamente circular.

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[fig. 4]

Notas
El manuscrito está contenido en la colección de cartas newtonianas regaladas en 1872 por Lord Portsmouth a la Universidad de Cambrige. Ver también L. Rosenfeld Arch. Hist. Exact Sci, VOL. 2.
Los dos enunciados de los teoremas son: «Si cada punto de una corteza esférica (o superficie esférica) está sujeto a una fuerza de atracción gravitacional igual a aquella a la cual está sujeto un punto opuesto, digo que un corpúsculo puesto dentro de tal superficie no es atraído por estas fuerzas hacia alguna parte». «Puestas las mismas cosas digo que un corpúsculo, puesto fuera de la superficie esférica es atraído hacia el centro de la esfera con una fuerza inversamente proporcional al cuadrado de su distancia del mismo centro.» El segundo teorema vale por tanto para cuerpos esféricos, homogéneos como densidad, o bien con esta última variante sólo con la distancia del centro (simetría central).

Indicaciones Bibliográficas
F. M. Arouet Voltaire, Opere (Obras), París 1827, tomo 41, p. 280.
Plutarco, Il volto della Luna (La cara de la Luna) Adelphi, Milán 1981.
I. Newton, Il sistema del mondo (El sistema del mundo), Bollati Boringhieri, Turín 1959. Fue publicado póstumamente en 1731. Buena parte de los contenidos está incorporado en el III Libro de los Principia.
I. Newton, Principi matematici della Filosofia naturale (Principios matemáticos de la Filosofía natural) por A. Pala, UTET Turín 1965.
J. Kepler, Astronomia Nova (Astronomía Nova), Band III, herausgegeben von Max Caspar, C. H. Beck’sche Verlegsbuchhandlung, München 1937.
D. T. Whiteside (pot), The mathematical papers of I. Newton, 8 VOLL., Cambridge University Press 1667-1687.
I. Newton, Méthodus fluxionum, traduit par M. de Buffon, A. Blanchard, 1994.
S. Chandrasekhar, Newton’s Principia for the common reader, Oxford Clarendon Press 1995.
M. Galuzzi, La influencia de la geometría en la evolución del pensamiento de Newton, en: Geometria, flussioni e differenziali (Geometría, fluxiones y diferenciales), La città del sole, Napoli 1995.
J. T. Cushing, Kepler’s laws and universal gravitation in Newton’s Principia, Am. J. Phys. 50 (7).
V. Banfi, A. Busato, M. G. Busato, Meccanica Spaziale (Mecánica Espacial) Levrotto e Bella, Turín 2001.

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