Las matemáticas de las últimas décadas
autor: Marco Bramanti
Profesor Asociado de Análisis Matemático en el Politécnico de Milán
fecha: 2013-10-06
fuente: SCIENZAinATTO/ La matematica degli ultimi decenni
traducción: María Eugenia Flores Luna

Contar los desarrollos recientes y la situación actual de la búsqueda matemática, una empresa que se pudiera creer casi imposible. Sin embargo el autor le ofrece al lector un recorrido cautivante de naturaleza divulgadora a través de las temáticas más significativas sea por el peso teórico en el campo de la búsqueda académica, sea por las implicaciones científicas y las aplicaciones tecnológicas, generalmente ignoradas por los medios de comunicación y desconocidas al mundo de la escuela. Se sugieren preciosas referencias bibliográficas y sitios a quien fuera interesado en un ahondamiento personal.

Con ocasión del quincuagésimo número de emmeciquadro, me pidieron una contribución sobre las matemáticas que tuviera por tema sus desarrollos de las últimas décadas, las novedades y su status actual. Una mission impossible, evidentemente, que he aceptado inconscientemente por amor de las matemáticas y de la revista, no ciertamente creyendo estar a la altura de eso. Trataré de hacerme perdonar la superficialidad de estas notas dejándole al lector al menos alguna referencia bibliográfica o web con que profundizar los temas que aquí tocamos de pasada (todas las referencias que se citan son de nivel divulgador).
Me parece ante todo que se puedan localizar dos subtemas, distintos aunque en relación. El primero es aquel del impacto actual de las matemáticas sobre la vida de todos nosotros o de la sociedad, a través de la tecnología y más en general las aplicaciones científicas: algo que nos toca muy de cerca, aunque a menudo somos poco conscientes de ello. El segundo tema es aquel de los desarrollos de la búsqueda teórica en matemáticas, la que se hace en las universidades y en los centros de búsqueda de tipo académico, un mundo del cual no sólo el gran público sino también profesores y personas de formación científica normalmente están a oscuras, que logra hacer hablar de sí los medios de comunicación sólo ocasionalmente. Trataré de tocar sintéticamente cada uno de estos aspectos.

El impacto de las matemáticas sobre la sociedad

Las matemáticas aplicadas entran hoy en casi cada campo de la tecnología y de la ciencia: creo que esto no sea una sorpresa para nadie, en todo caso tratamos al menos de ejemplificar esta afirmación. Ante todo hay campos en que la aplicación de las matemáticas tiene una larga tradición, y eso no elimina el hecho de que con el pasar del tiempo haya en todo caso evoluciones y novedades significativas. Por ejemplo, la fluido dinámica es un sector de la física matemática de larga tradición, rica en aplicaciones ingenierísticas como a la aerodinámica del vuelo o a la hidrodinámica, que son hasta hoy día importantes, pero a ésas en años recientes se han acercado aplicaciones de otros tipos. Por ejemplo, a partir de los años Noventa del siglo pasado, la fluido dinámica computacional ha tenido interesantes aplicaciones al modelado de la circulación sanguínea (hemodinámica) con aplicaciones médicas relevantes (para una panorámica se vean los dos artículos de reseña [1]).

En estas como en tantas otras aplicaciones físico-matemáticas se ve en acción una sinergia entre física matemática (deducción de las ecuaciones diferenciales que modelan un fenómeno, con base en las leyes físicas y en la naturaleza del problema), análisis matemático (estudio de las propiedades teóricas de las ecuaciones diferenciales implicadas), cálculo numérico (discretización del problema diferencial o sea traducción del problema analítico originario en un problema aproximante generalmente de tipo algebraico - un sistema de numerosas ecuaciones en numerosas incógnitas - y desarrollo de algoritmos eficientes por la resolución efectiva de este problema) y por fin el empleo de la potencia de cálculo del ordenador.

Otro sector clásico del análisis matemático, que tiene casi doscientos años, el análisis de Fourier, ha tenido en las últimas décadas aplicaciones significativas en muchos campos [2]. Una de éstas, familiar a todos nosotros, es la compresión de las imágenes, como las fotografías sobre nuestro ordenador o sobre nuestras cámaras de fotos digitales, con el desarrollo de los varios estándares de formato JPG, que en las primeras versiones, años 1990, se basaban en el análisis de Fourier clásico, según la idea es decir de aproximar una función a través de funciones trigonométricas, mientras después de 2000 han iniciado a basarse en otros tipos de aproximaciones, a través de funciones dichas wavelets (para quien está interesado, la voz JPG2000 en Wikipedia contiene muchas informaciones y ulteriores referencias).

Más en general, el trato de las imágenes (mejoría, filtración, reconocimiento automático de los contornos, con varias aplicaciones desde el ordenador gráfico hasta el diagnóstico médico por imágenes) es una verdadera mina de problemas matemáticos que implica métodos de ecuaciones diferenciales, cálculo de las variaciones, estadísticas, análisis armónico, geometría y otros más. Por ejemplo la tomografía computadorizada, a través de la transformada de Radon traduce en lenguaje matemático (y soluciona) el problema de "ver" en tres dimensiones una parte del cuerpo humano a partir de radiografías tomadas desde varias direcciones (imágenes bidimensionales). Se trata de una sinergia entre aspectos no banales de matemáticas, física e informática [2]

La meteorología es otro campo que en los últimos cincuenta años ha tenido desarrollos importantes. Es naturalmente fundamental el progreso científico-tecnológico en la adquisición de los datos meteorológicos, a través de las imágenes del satélite, pero también las matemáticas desempeñan un papel crucial: todavía son implicadas la fluido dinámica, en los modelos de base sobre la circulación de las masas de aire y los problemas de análisis numéricos conexos, pero también el cálculo de las variaciones, en los complejos procedimientos de "ensamblaje" de los datos parciales para dar una "fotografía global" de la situación meteorológica presente, tal como la comprensión de las propiedades de los sistemas no lineales caóticos [3]. Un objeto ya familiar como el dispositivo GPS de detección de la posición (Global Positioning System operativo del 1995), se basa (además de basarse sobre la presencia de veinticuatro satélites en órbita alrededor del planeta Tierra y ¡específicamente dedicados a esto!) sobre una matemática y una física no banal. Nuestra posición es conseguida con base en la señal recibida por cuatro satélites a la vez; la distancia exacta respecto a tres satélites bastaría con determinar la posición (es un problema de intersección de superficies esféricas) y la distancia puede ser calculada con base en los tiempos de recorrido de la señal electromagnética mandados por el satélite al receptor GPS; pero el cálculo exacto de estos tiempos de recorrido implica delicados problemas relacionados con la imposible sincronización de los relojes sobre los satélites y en el dispositivo GPS, y esto solicita un dato ulterior, del cual deriva la necesidad de utilizar la señal de cuatro satélites.

Las matemáticas discretas

Los ejemplos que hemos visto nacen en el contexto de las matemáticas del continuo (aunque en su trato numérico luego se discretizan); ahora vemos algún ejemplo de problemas que por su naturaleza tienen que ver con las matemáticas del discreto. La transmisión a distancia (vía web o celular) de informaciones que queremos proteger de los intrusos pone problemas de criptografía; los relativos algoritmos implican varias matemáticas discretas. Por ejemplo, el fundador de los sistemas de criptografía usado para las transmisiones vía internet, como en las transacciones comerciales o bancarias, y para los actuales sistemas de firma digital, el así llamado sistema RSA (de las iniciales de Rivest, Shamir, Adleman que lo desarrollaron en 1978 en el M.I.T) es basado en ideas de teoría de los números que remontan al siglo XVIII, en particular sobre las propiedades de los números primos y sobre la aritmética modular, y basa la propia fuerza en la dificultad de descomponer un número entero enorme en sus factores primos (cfr. capítulos 4 y 9 de [4]). El libro indicado es interesante también por los demás argumentos tratados: ejemplos de algoritmos, implicados hoy en las tecnologías del web y no sólo, que enseñan cómo, tras lo que a menudo consideramos de modo genérico "la potencia del ordenador", incluso están siempre buenas ideas a veces elaboradas, a veces muy simples pero geniales en su capacidad innovativa.

Sobre el número de septiembre de 2013 del Notices of the American Mathematical Society, se lee una inserción publicitaria del National Security Agency que, para contrastar los ataques informáticos en los EE.UU., busca personal experto en los siguientes sectores: teoría de los números, teoría de las probabilidades, teoría de los grupos, teoría de los campos terminados, combinatoria, álgebra lineal. La cosa impresionante de esta lista es que se trata de disciplinas (generalmente de matemáticas discretas) que, a excepción quizás del álgebra lineal, un estudiante de matemáticas probablemente consideraría entre las más teóricas y lejanas de las posibles aplicaciones. En cambio, como se ve, hoy estas competencias son implicadas sobre las barricadas de la lucha al cyber-crime.

Pero las matemáticas discretas no tienen que ver sólo con el mundo del ordenador y de la criptografía; también encuentra aplicaciones al estudio de circuitos eléctricos, redes de comunicación, problemas de tráfico, elección de recorridos optimales, estudio de las propiedades de las cadenas de ARN o ADN, modelos de dinámica de las poblaciones, para hacer sólo algún ejemplo. Una agradable lectura divulgadora que muestra varias aplicaciones de las matemáticas discretas (teoría de los gráficos de las redes, probabilidad y estadística en el discreto, data mining, etcétera) a varios aspectos de la lucha al crimen es el libro de Devlin [5], donde por ejemplo se encuentra una interesante discusión de las ideas probabilistas conexas con la fiabilidad de las pruebas sobre el ADN para la identificación criminal.
Las aplicaciones descritas tienen en realidad un dominio que va más allá de los confines de los problemas del detective, aunque éste es el hilo conductor sobre el cual es construido aquel libro. Dos sectores que atraviesan las matemáticas sea discreta que continua son la probabilidad y la estadística.

La importancia de la estadística está hoy bajo los ojos de todos y, si el ciudadano común a menudo tropieza con estadísticas de tipo social o político, es el caso de señalar que las aplicaciones de la estadística son hoy penetrantes en los campos más variados: industria, ingeniería, epidemiología, genética, agricultura, etcétera. Efectivamente la estadística no tiene que ver sólo con la presentación sintética de datos numerosos (como en las estadísticas que leemos en los periódicos), sino también con finos métodos de previsión cuantitativa. En el sitio creado con ocasión del 2013, año internacional de la estadística, se puede encontrar una descripción de muchos campos actuales de aplicación de esta disciplina.

Esta breve reseña sobre algunas aplicaciones actuales de las matemáticas tiene que ahora acabar para dejar espacio a otros temas. Señalo alguna referencia ulterior con que el lector curioso puede ampliar los horizontes encontrando algunos sectores contemporáneos de aplicación de las matemáticas. El texto L’esplosione della matematica (El estallido de las matemáticas) bajo la dirección de la Unione Matematica Italiana, es muy simple y discursivo. Con un lenguaje más matematizado, pero siempre introductor y con muchas visualizaciones, el texto MATHKNOW [6] incluso reproduce una colección de breves ensayos sobre aplicaciones diferentes, también tocando ciertas relaciones entre matemáticas y disciplinas no científicas. Sobre las páginas web del American Mathematical Society hay una agenda mensual dedicada a la presencia de las matemáticas en los medios de comunicación, en la cual se recogen artículos divulgadores, normalmente dedicados a alguna aplicación actual más o menos "curiosa" de las matemáticas.

La búsqueda teórica

Como escribí en la introducción, junto a las matemáticas que se aplican a mil sectores de la ciencia, de la técnica, de la "vida real", hay toda una búsqueda matemática teórica, generalmente desarrollada en las universidades, que tiene como su producto final una cantidad de artículos publicados sobre revistas científicas internacionales, libros, comunicaciones en congresos, etcétera. Este río de pensamiento no tiene siempre un contacto directo o inmediato con aquel otro mundo de matemáticas aplicadas de que hemos dado primero algún ejemplo. De hecho los países con una buena búsqueda en matemáticas aplicadas sobresalen también en la matemática teórica por lo tanto una correlación entre las dos en sustancia hay. Ahora, la evolución de la matemática teórica es difícilmente comunicable a los no entendidos, no sólo por el motivo obvio de la dificultad de explicar de modo no técnico ideas extremadamente técnicas, sino también por la dificultad de seleccionar, en el gran mar de las nuevas matemáticas que se producen año después de año, década después de década, en innumerables ríos y riachuelos de búsquedas especializadas, unos puntos que se puedan creer en algún sentido los más importantes.

El American Mathematical Society publica desde los años 1990 una colección de libros con el título What's happening en the mathematical sciences? Al ritmo de un volumen cada 2-3 años (hasta hoy existen nueve), cada texto contiene una decena de breve ensayos divulgadores cada uno sobre un argumento "caliente" de la búsqueda matemática reciente. Muchos de estos artículos son efectivamente interesantes y comprensibles también a los no entendidos; sin embargo encuentro que con este género de aproximación analítica no se logra hacer un cuadro de conjunto. Algún lector podrá asombrarse por esta incertidumbre mía sobre el describir cuáles sean las cumbres de la búsqueda matemática de los tiempos recientes.

Después de todo, ha hecho hablar de sí, en 1995, la demostración de Andrew Wiles del último teorema de Fermat, tal como ha hecho hablar de sí la demostración de Grigori Perelman de la conjetura de Poincaré, por la cual en 2006 fueron asignadas (y ambos rechazados por el interesado) la medalla Fields y el premio de un millón de dólares de la fundación Clay. Justamente estos resultados elevados hacen sensación y se relatan hasta en los periódicos. Sin embargo no se tiene que creer que estos resultados lleguen a "turbar" el mundo matemático en su totalidad: la distancia entre un sector especializado y algún otro es tan grande que también un resultado teórico fundamental alcanzado en un sector no es para nada automático que haya recaídas también en los otros sectores.

Hay por lo tanto cierta "inconmensurabilidad" entre resultados conseguidos en sectores diferentes, que vuelve difícil y en el fondo quizás también poco significativo tratar de hacer un tipo de escalafón absoluto de los resultados más importantes alcanzados. Aquello que quizás se puede tratar de hacer, y que puede ser más interesante, es tratar de captar ciertas tendencias en el desarrollo total de la matemática teórica, mirándola de lejos, es decir sobre un arco temporal no muy breve (décadas más que años) y con una mirada sobre las grandes áreas en vez de sobre los sectores demasiado específicos.

Dejemos hablar, a este respeto, a un gran nombre de las matemáticas de nuestro tiempo, Sir Michael Atiyah. Sacaré del texto de su Fields Lecture en el Simposio por el año internacional de las matemáticas en 2000 en Toronto [7], con el título retrospectivo Mathematics in the 20th century. El autor subrayaba, en su intervención, la tendencia progresiva, en el arco de todo el siglo veinte, a ciertos desplazamientos de interés (shift) en la búsqueda. Los enumero tal como él los nombra, comentándolos a mi manera.

De lo local a lo global. En muchos problemas analíticos se asiste a un desplazamiento de interés en la descripción del comportamiento de un sistema, de la escala local (en el espacio) o "por tiempos breves" a la escala global (en el espacio) o "por tiempos largos". A menudo el comportamiento por tiempos largos o sobre escala global se puede describir sólo de modo cualitativo, en vez de cuantitativo, poniendo en relieve algunas propiedades generales. Este primer shift se acompaña por lo tanto a un segundo, del cuantitativo a lo cualitativo, con un mayor relieve dado a los métodos o a conceptos topológicos.

Crecimiento de la dimensión. Si la matemática clásica está interesada en problemas "en dimensión baja" (la que corresponde al plano o al espacio físico), en el siglo veinte se va también hacia un sistemático interés por los problemas en dimensión alta (cualquiera) o, en algunos campos, se salta hasta de la dimensión finita a la dimensión infinita (por ejemplo, en análisis funcional o en el cálculo de las probabilidades).
De lo conmutativo a lo no conmutativo. En las disciplinas algebraicas y geométricas, pero también en análisis, hay un creciente interés por los contextos en que alguna operación fundamental no es conmutativa, lo que obviamente pone problemas nuevos.

De lo lineal a lo no lineal. El análisis no lineal ha cumplido progresos enormes en las últimas décadas. Y si el punto de vista más clásico consiste en el aproximar localmente un problema no lineal con uno lineal, cada vez más importancia tienen en matemáticas las teorías y los instrumentos desarrollados ad hoc para estudiar situaciones auténticamente no lineales (como las ecuaciones diferenciales fully nonlinear) para las cuales hacen falta tradicionalmente ideas absolutamente nuevas con respecto a las usadas en las teorías lineales.
A estos shift de interés que Atiyah describe en su ensayo también se pueden añadir otros.

De lo determinístico a lo estocástico. Los fenómenos probabilistici ya no son sólo objeto de una disciplina de estudio en sí, sino "turban" por ejemplo los modelos diferenciales determinísticos, llevando a disciplinas híbridas que son cada vez más relevantes.

De lo regular a lo no regular. Todo el análisis matemático de los últimos cincuenta - sesenta años ha visto un progresivo ensanche de los propios confines dando derecho de ciudadanía a objetos cada vez menos "regulares": en el estudio de las ecuaciones diferenciales a las derivadas parciales, se consideran también coeficientes con escasas propiedades de regularidad (correspondientes a la posibilidad de describir sistemas físicos en el que un cierto medio no es homogéneo y presenta características bruscamente discontinuas); la así llamada teoría geométrica de la medida estudia objetos geométricos extremadamente irregulares (como los fractales), etcétera.

Sin querer multiplicando los ejemplos de shift de este tipo (habría ciertamente otros, y se podrían ejemplificar también en disciplinas diferentes de las pocas que he citado), se puede probar a sacar algún comentario general. En el desarrollo de la matemática teórica se observan, sobre el arco temporal medio-largo y sobre la ancha escala, unos ensanches de horizontes, unos saltos de generalidad o roturas de esquemas anteriores, que solicitan el desarrollo de nuevas ideas, nuevos métodos, nuevas abstracciones, desarrollos que a menudo no consideran superadas las teorías anteriores, sino o se apoyan sobre ellas en sentido estrecho, o mantienen alguna analogía con ellas, incluso en el salto de generalidad que proponen.

Atiyah, en el ensayo ya citado, subraya también la existencia de algunas técnicas en común entre las varias disciplinas (incluso en la inevitable diferencia de otros instrumentos específicos). Por lo tanto la fragmentación especializada de las disciplinas es balanceada en parte por la necesidad, por quien trabaja en un campo, de tener al menos un poco de conocimiento y práctica también de técnicas, instrumentos y "jerga" de sectores tradicionalmente lejanos del propio.
De vez en cuando luego algún matemático particularmente original hace desbarajustes en la rutina encontrando nexos hasta entonces impensados entre campos lejanos, o utilizando por primera vez un instrumento que tradicionalmente pertenece a un sector para estudiar problemas de otro. Esto, al menos a veces, obliga a todos a ampliar los propios horizontes fuera del propio campo específico, para no quedar cortos fuera de los desarrollos recientes justo en aquel campo.

Es sobre todo este último aspecto que querría subrayar en la parte final de esta sección. Tomaré como idea las motivaciones con las que han sido asignadas algunas de las últimas medallas Fields. En el sitio de la Internacional Mathematical Union es posible consultar la lista completa de los Fields medalist y, al menos por las últimas ediciones, leer el texto de las motivaciones oficiales.
Reporto alguna frase de la motivación del premio de cuatro de los últimos ocho premiados. Para comprender el punto que me interesa evidenciar no es para nada necesario que el lector conozca las matemáticas de que se habla.

Elon Lindenstrauss
Medalla 2010. "Por sus resultados sobre la medida de la rigidez en la teoría ergódica y sus aplicaciones a la teoría de los números". "Elon Lindenstrauss ha desarrollado instrumentos teóricos extremadamente potentes en la teoría ergódica, un campo de las matemáticas inicialmente desarrollado para comprender la mecánica celeste. Luego ha usado aquéllos, junto a su profunda comprensión de la teoría ergódica, para solucionar una serie de difíciles problemas en áreas de las matemáticas que están aparentemente muy lejanas. […]"

Ngô Bao Châu
Medalla 2010. "Por su demostración del Lema Fundamental en la teoría de las formas automorfas a través de la introducción de nuevos métodos algebraico-geométricos". "Ngô Bao Châu ha removido uno de los grandes impedimentos al gran programa, durado décadas, de descubrir conexiones escondidas entre áreas aparentemente distintas respecto a las matemáticas. […]"

Andrei Okounkov
Medalla 2006. "Por sus contribuciones a echar un puente entre probabilidad, teoría de las representaciones y geometría algebraica". "El trabajo de Andrei Okounkov ha revelado nuevas conexiones entre diferentes áreas de las matemáticas y ha echado una nueva mirada sobre problemas que nacen de la física. Aunque su trabajo sea difícil de clasificar porque toca una gran variedad de áreas, dos temas claros son el empleo de la noción de casualidad y las ideas clásicas de la teoría de las representaciones. Esta combinación se ha demostrado potente al unir problemas de geometría algebraica y mecánica estadística […]."

Wendelin Werner
Medalla 2006. "Por sus contribuciones a la evolución estocástica de Loewner, la geometría del movimiento browniano bidimensional y la teoría de los campos conformes". "El trabajo de Wendelin Werner y sus colaboradores representa una de las más interesantes y fructuosas interacciones entre las matemáticas y la física en tiempos recientes. La búsqueda de Werner ha desarrollado un nuevo cuadro conceptual para comprender fenómenos críticos que surgen en los sistemas físicos y ha llevado nuevos puntos de vista geométricos que faltaban en precedencia. Las ideas teóricas que nacen de su trabajo, que combina la teoría de la probabilidad con ideas del análisis complejo clásico, han tenido un impacto importante sea en matemáticas que en física y tienen potenciales conexiones con una amplia variedad de aplicaciones […]."

Lo que se ve claramente de estas deducciones es el tema recurrente del echar puentes, descubrir conexiones escondidas entre áreas aparentemente distintas respecto a las matemáticas, y también captar nexos entre matemática abstracta y física. Como ya decía, por lo tanto, a pesar de la inevitable fragmentación de la búsqueda especializada, quien "vuela alto" hace justicia a la idea de que la matemática sea, todavía y siempre, una sola.

Referencias bibliográficas y sitográficas

[1] A. Quarteroni, Modeling the Cardiovascular System - A. Mathematical Adventure, Part I. SIAM News, Volume 34, Number 5; Part II. SIAM News, Volume 34, Number 6.
[2] E. Prestini, Applicazioni dell’analisi armonica, (Aplicaciones del análisis armónico), Hoepli, Milán 1996.
[3] A. Quarteroni, L. Bonaventura, I modelli matematici per la previsione meteorologica, (Los modelos matemáticos para la previsión meteorológica), pp 241-251, en: M. Emmer (por), Matematica e cultura (Matemática y cultura) 2007, Springer, Milán 2007.
[4] J. MacCormick, Nove algoritmi che hanno cambiato il futuro (Nueve algoritmos que han cambiado el futuro), Apogeo, Milán 2012.
[5] K. Devlin, G. Lorden, Il matematico e il detective, (El matemático y el detective), Longanesi, Milán 2008.
[6] M. Emmer, A. Quarteroni, editors., MATHKNOW, Mathematics, Applied Sciences and Real Life, Springer, Milán 2009.
[7] M. Atiyah, Mathematics in the 20th century, N.T.M 10 (2002) 025-039, Birkhauser 2002.

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