Los lenguajes matemáticos. Ideas y símbolos /1
autor: Marco Bramanti
Profesor de Análisis Matemático en el Politécnico de Milán (Italia)
fecha: 2011-08-05
fuente: I linguaggi matematici: idee e simboli (1)
traducción: María Eugenia Flores Luna
siguentes: title

En este artículo se discute, a partir de ejemplos dados por argumentos de matemática escolástica, la relación entre el progreso de las ideas matemáticas y el desarrollo de ciertos lenguajes matemáticos específicos, y se extrae alguna consideración didáctica (1). Es publicada aquí la primera parte del artículo, donde, partiendo de la escritura de los números, se analiza el simbolismo del álgebra y su extensión a la geometría con la geometría analítica.

¿Qué es el lenguaje? El instrumento con el que comunicamos un cierto contenido. A menudo se tiende a contraponer claramente «lenguaje» y «contenido», como si el uno pudiera prescindir del otro: lo que se dice en italiano se puede traducir al inglés (cambia el lenguaje, queda el contenido), lo que se dice en un lenguaje técnico de especialistas puede ser explicado con un lenguaje informativo, al alcance de todos. Etc.
¿Pero es precisamente así? ¿Una poesía escrita en una lengua puede ser traducida exactamente en otra lengua? ¿La teoría de la relatividad puede ser explicada con el lenguaje común, sin usar los términos técnicos de la física? ¿Se puede explicar la matemáticas «en pocas palabras», sin usar los términos y los símbolos matemáticos? ¿El contenido es independiente del lenguaje con el que es comunicado, o más bien necesita un lenguaje adecuado para ello? ¿Y el lenguaje añade algo al contenido?
Un poco de reflexión sobre estos problemas sugiere que la relación entre lenguaje y contenido sea profunda y compleja.
Aquí queremos afrontar el tema del rol del lenguaje en matemáticas. Para delimitar un poco este tema ilimitado, digamos que no me refiero aquí a los aspectos generales del lenguaje de las matemáticas, que tienen que ver con la lógica, el modo de razonar o el modo de usar ciertas palabras o expresiones del lenguaje común que en matemáticas adquieren un sentido unívoco. Más bien, querría reflexionar sobre la aportación específica que el lenguaje y el simbolismo dan a una específica rama de las matemáticas. Por este motivo el argumento de esta reflexión es mejor descrito diciendo que hablamos de los «lenguajes de las matemáticas», al plural.
Afrontaremos este tema a través de algunos ejemplos que muestran cómo, desde un punto de vista histórico y lógico, ciertos progresos del lenguaje matemático hayan ido a igual paso con progresos en la comprensión de las ideas. Los ejemplos tocan argumentos de matemática escolástica, sin embargo las ideas sugeridas por estos ejemplos también conciernen a argumentos matemáticos más avanzados.

La escritura de los números

Todos nosotros hemos aprendido de pequeños a sumar y multiplicar dos números enteros «bastante grandes», poniendo los dos números en columna, y siguiendo ciertas reglas (sumar unidad con unidad, obtener el resultado…). Como es conocido, lo que hace posible este método es la escritura posicional en base diez, es decir el hecho de que el símbolo 132 denote «un centenar más tres decenas más dos unidades» y las propiedades formales de la suma y del producto. Por ejemplo:

132 +

46 =

178

porque

132+46 = (1x100 + 3 x 10 + 2 x 1) + (4 x 10 + 6 x 1) =
(por la propiedad asociativa e conmutativa de la suma)

(1x100) + (3 x 10 + 4 x 10) + (2 x 1+ 6 x 1) =

(por la propiedad distributiva)

(1x100) + (3 + 4) x 10 + (2 + 6) x 1 =

1x100 + 7 x 10 + 8 x 1 =

178


Los pasos escritos son la justificación formal del por qué es lícito sumar unidad con unidad, decenas con decenas, etc. El hecho de que la base históricamente elegida sea 10 no es esencial, (probablemente depende del hecho de que tenemos 10 dedos); el hecho realmente esencial es la escritura «posicional», es decir en que la misma cifra tiene un significado diferente según la posición que ocupa, y cada posición localiza una cierta potencia de 10: primer lugar = unidad, segundo lugar = decenas, etc. Si, por comparación, probamos a sumar 2 números escritos en números romanos, ponerlos en columna no es de ninguna ayuda:

CXXXII +

XLVI =

????

¡El único recurso es usar algún tipo de ábaco, para no perder la cuenta!
El sistema posicional en base 10 entró en occidente en 1202, con el Liber Abaci de Leonardo Pisano (1170-1250), que lo había conocido de los árabes, los que a su vez lo habían recibido de los indianos alrededor del 770, y habían mejorado el sistema indiano añadiendo el cero, que los indianos no usaban (dejando en su lugar un espacio vacío). En India el sistema posicional en base 10 era conocido al menos desde el 500, y alguien sostiene que hubiera sido a su vez importado de la China, en tiempos aún más antiguos.
El lenguaje de la escritura posicional en base 10 ha hecho posible la ejecución de cálculos numéricos por escrito, sin el auxilio de ábaco. Un progreso enorme no sólo para las matemáticas, sino para la vida cotidiana de todos.
Reflexionemos sobre el pensamiento que ha hecho posible la invención del sistema posicional y la construcción de las reglas para ejecutar las 4 operaciones por escrito: hace falta el conocimiento de las propiedades formales de la suma y del producto (conmutativa, asociativa, distributiva), la idea de potencia (decenas, centenas, millares son «potencias de diez»), la idea de que cada número entero se pueda representar como suma de potencias de 10, donde todos los coeficientes, a su vez, son números enteros menores de 10, y por lo tanto se pueden representar con las 10 cifras 0, 1,…, 9. Quizás estas ideas fueron poseídas por quien ha inventado el sistema de modo solo semi-explícito, pero ciertamente sin una profunda reflexión sobre las propiedades de los números y de las operaciones sobre ellos, este lenguaje no habría podido ser inventado. La escritura posicional de los números se nos presenta entonces, en este sentido, como mucho más que «un buen expediente de notación»: es una etapa importante en el camino histórico de reflexión sobre el número y sus propiedades, que viene definitivamente ubicado en un lenguaje que se vuelve de uso común, hace posible cálculos de cualquier complejidad potencial, facilita ulteriores reflexiones sobre las propiedades de los números (para hacer sólo un ejemplo elemental, si piensas en los criterios de divisibilidad por 3, 5, 11, que se basan esencialmente en las propiedades de la escritura posicional) y es un presupuesto para la ulterior extensión que consistirá en considerar números con la coma (2), revolucionando en cada ámbito sistemas y unidad de medida. En fin, la escritura posicional de los números representa, para nosotros que la hemos adquirido, el modo mismo en que «pensamos» los números, cuando son «grandes»: podemos en efecto pensar y visualizar el número 5 en muchos modos (5 puntos en una hoja de papel, los 5 dedos de una mano…), pero no conozco más que un solo modo de pensar el número 754: como secuencia de cifras 7, 5, 4, con el significado de 7 centenas, 5 decenas y 4 unidades.
«Nos cuesta mucho pensar en alguna costumbre universal que el hombre haya establecido con éxito sobre la tierra. Hay una, sin embargo, de la que se puede jactarse: la adopción universal de los numerales Indo-árabes para escribir los números. En esto tenemos quizás el único caso de victoria mundial de una idea». (Howard W. Eves (1911-2004)) (3)

El lenguaje del álgebra

Uno de los primeros y más elementales problemas del cual el álgebra se ha ocupado es la resolución de las ecuaciones algebraicas de primer y segundo grado. Con el lenguaje actual, se trata de las ecuaciones del tipo:

ax + b = 0 (primer grado)

ax2 + bx + c = 0 (segundo grado)

donde x es la incógnita y a, b, c son coeficientes asignados. Para la ecuación de primer grado, por ejemplo, la solución es:

x = – b / a

(a condición que sea a ≠ 0). Este modo de formular los problemas es dado por el «álgebra simbólica», y es una conquista del siglo XVI, para llegar al cual ha sido necesario un largo y pesado camino del pensamiento matemático. Aquí no queremos trazar un informe histórico de estos desarrollos, sino sólo señalar dos puntos-claves de este progreso.
El primero, que se puede hacer coincidir con la invención misma del álgebra, es el concepto de «ecuación en una incógnita». Ante todo la idea de «incógnita», es decir la idea de dar un nombre a una cantidad que todavía no conocemos (y tampoco sabemos si exista) pero que, si existe, tiene que satisfacer cierta igualdad. Sucesivamente, sobre esta igualdad que contiene una incógnita (= ecuación) podemos ejecutar determinadas operaciones que transforman la igualdad en otra equivalente pero siempre más simple, hasta llegar a la solución, si existe.
Ejemplificamos sobre un problema contenido en el ya citado Liber Abaci de Leonardo Pisano (4).
«Dice un joven: “Hoy, si al triple de mi edad añado 1/4 y 1/3 de cuanto ya he vivido, me falta sólo un año para tener 100 años”. ¿Cuál es la edad exacta del joven en años, meses y días?»
Podemos formalizar el problema introduciendo una incógnita: x = edad del joven, y por lo tanto traduciendo la información contenida en el texto en una ecuación:

3x + ( 1/4 + 1/3 ) x + 1 = 100

Sobre esta ecuación se puede operar ahora, primero transformando la expresión a primer miembro como

( 43/12 ) x + 1 = 100

luego sustrayendo a ambos miembros de la ecuación 1 y sucesivamente multiplicando ambos miembros de la ecuación por 12/43, consiguiendo:

x = 1188 / 43 años, es decir 27 años, 7 meses y 16 días (5)

Todas las operaciones efectuadas son lícitas en base a las propiedades generales de la suma y el producto de los números reales.
Este modo de proceder para nosotros es natural y casi banal, pero hace falta reflexionar sobre el grado de abstracción implícito en este razonamiento, y consistente ante todo en el uso del concepto de «incógnita» y de «ecuación», y por lo tanto en el empleo correcto de las propiedades de las operaciones también cuando éstas implican un «número incógnito». Sin estas ideas, el problema iría solucionado con un razonamiento ciertamente más tortuoso. En realidad Leonardo Pisano soluciona este problema sin usar explícitamente el método resolutivo de la ecuación de primer grado, sino con el «método de falsa posición»; en general Leonardo, que conoce incluso las ecuaciones, reserva el uso a problemas formulados en modo más enredado que éste. En sustancia, en cambio, su razonamiento utiliza sea el concepto de incógnita que el de ecuación (expresada en palabras); sólo en los pasos resolutivos se desvía de nuestro método y se remite más bien a las proporciones (que son en todo caso ecuaciones particulares). Traducido en lenguaje simbólico, en efecto, su razonamiento verbal es siguiente:

ya que 3x + ( 1/4 + 1/3 ) x + 1 = 100,

se tiene también 3x + ( 1/4 + 1/3 ) x = 99

Si fuera x = 12 («falsa posición») el primer miembro resultaría 43 en lugar de 99 (se note que, gracias a la elección astuta del número 12, éste es un cálculo fácil de hacer «en la mente»: la fuerza del método es ésta). Entonces vale la proporción

x: 12 = 99: 43, por tanto x = 12 ∙ 99 / 43 = 1188 / 43

Aunque hemos usado el lenguaje simbólico moderno para hacer un informe del razonamiento de Leonardo, se note que de por sí la idea de ecuación con una incógnita es independiente del uso de un particular formalismo. Históricamente el álgebra nace en la alta edad media, en los árabes como «álgebra retórica», donde la incógnita es llamada «la cosa» y tanto la ecuación cuanto su procedimiento resolutivo son contados completamente con palabras (de aquí precisamente el nombre de álgebra retórica). La resolución por esta vía es muy pesada (6), y se ha requerido imaginación y previsión, de parte de los matemáticos medievales y del primer renacimiento, para pensar que este método algebraico habría podido dar buenos frutos, si es bien cultivado.

El segundo punto clave en este desarrollo, en efecto, consiste precisamente en el paso del álgebra retórica al álgebra simbólica. Este paso, largo y gradual, tiene una interesante anticipación entorno al 1200 con la obra de Jordano Nemorario, pero que queda aislada, padece una aceleración con los algebristas italianos del renacimiento, que inician a usar cada uno las propias abreviaciones simbólicas (se habla de «álgebra sincopada» para describir este estadio de desarrollo), y se considera que tenga un punto de vuelco decisivo en torno al 1600 con la figura de François Viète (1540-1603) (7)
El álgebra simbólica a su vez es caracterizada por dos innovaciones cruciales: la primera es el empleo de un «simbolismo estándar» para escribir las ecuaciones (en vez de tenerlas que contar con palabras) que vuelve rápido y transparente el procedimiento resolutivo; la segunda es el empleo de «coeficientes genéricos», es decir la idea de dar nombres (por ejemplo a, b, c) a los números (¡considerados conocidos, no incógnitos!) que comparecen en la ecuación, a fin de poder solucionar «en sólo un golpe» todas las ecuaciones de cierto tipo, y no sólo una específica ecuación.
Por ejemplo, si queremos mostrar cómo se soluciona la ecuación general de primer grado, es suficiente escribir

ax + b = 0

con a, b números reales genéricos. Sustrayendo b a ambos miembros y por lo tanto dividiendo para a ambos miembros (se a ≠ 0), se encuentra la solución general:

x = – b / a

Antes del nacimiento del álgebra simbólica, los tratados de álgebra enseñaban únicamente a solucionar las ecuaciones a través de ejemplos numéricos, sin la posibilidad de enunciar simbólicamente una regla general: no existía un lenguaje capaz de esta generalidad.
El empleo de letras para denotar coeficientes genéricos se entrelaza con otro problema, que es el uso de los números negativos, plenamente afirmado en Europa solo en el siglo XVI (con Rafael Bombelli (1526-1572), Simón Stevin (1548-1620). Para quien no conoce los números negativos, las ecuaciones

ax2 + bx = c; ax2 = bx + c; ax2 + c = bx

no son tres casos particulares de la ecuación general

ax2 + bx + c = 0,

sino más bien tres clases de ecuaciones bien distintas. Es el hecho de considerar también la posibilidad de que a, b, c indiquen números negativos que unifica los tres «casos» en uno solo.

Sintetizamos.
El lenguaje del álgebra simbólica utiliza letras para denotar incógnitas y coeficientes genéricos. Este procedimiento hace rápida la formalización y resolución de muchos problemas, y permite formular sintéticamente las reglas generales de resolución.
Todo eso es conectado estrechamente a algunos progresos hechos con la evolución del pensamiento matemático.
El afirmarse de un cierto tipo de razonamiento abstracto: dar un nombre a una hipotética cantidad que todavía no conocemos, pero que, si existe, tiene que satisfacer cierta igualdad, y llevar consecuencias oportunas de esta igualdad.
La idea de escribir y resolver las ecuaciones en símbolos, no con palabras.
La idea de que se puedan establecer relaciones válidas para cualquier número indicando éstos con letras (parámetros). Esta idea es entrelazada naturalmente a un ahondarse del conocimiento de las propiedades abstractas de las operaciones de suma y producto de números: para escribir

a (x + 1) = ax + a

hace falta tener clara la propiedad distributiva, y haber entendido que justo la generalidad con que vale aquella propiedad nos permite afirmar que es lícito escribir igualdades literales: estas igualdades «no nos traicionarán» cuando reemplacemos a una letra por un número concreto, justo porque las propiedades que aplicamos son válidas para cada número. Pero entonces se puede usar sistemáticamente letras en lugar de números y establecer fórmulas de valor general.
El concepto de «número negativo» (y no sólo de «sustracción de un número a otro»), que permite de unificar procedimientos que de otro modo se fragmentarían en una casuística complicada.
El ejemplo del álgebra enseña por lo tanto cómo el lenguaje matemático no sea sencillamente un modo para «comunicar» ciertas ideas, sino sea ese mismo el lugar en que «residen» ciertas ideas. El lenguaje incorpora en sí progresos, ideas, juicios, abstracciones fruto de una larga historia. Por eso cuando razonamos usando un cierto lenguaje, ciertos problemas (¡no todos!) parecen banales, muestran por sí mismos la vía para la propia solución. En realidad el problema no puede ser considerado banal de por sí; más bien, se puede decir que en aquel caso el lenguaje se haya hecho cargo de la mayor parte del trabajo necesario a solucionar el problema. El lenguaje resume los progresos conceptuales de toda una historia, y nos hace ver las cosas «desde los hombros de los gigantes».

La geometría analítica

La geometría analítica es una invención de Descartes (René Descartes (1596-1650)) y Pierre de Fermat (1601-1665), en torno al 1630, que ha revolucionado la geometría y su relación con el álgebra. Para los antiguos griegos la geometría tenía un rol predominante, creador, con respecto al álgebra. Las operaciones algebraicas eran consideradas sensatas si tenían una interpretación geométrica: por ejemplo, el «cuadrado» de un número a era pensado como la medida del cuadrado de lado a, antes que la pura y simple abreviación de a x a; por este motivo, por ejemplo, a5 no tenía sentido para los griegos, no pudiendo imaginar un «hipercubo» en un espacio de dimensión 5.
La geometría analítica ha volcado la relación entre el álgebra y la geometría. Con la idea de «sistema de referencia» y de «coordenadas», un punto sobre una línea recta es identificado con un número real, un punto del plano es identificado con un par (x,y) de números. Ahora cada figura geométrica plana que sea expresable como «lugar geométrico», es decir «conjunto de todos y sólo los puntos que satisfacen una cierta relación», es identificado con el conjunto de todos y sólo los pares (x,y) que satisfacen una cierta relación algebraica (ecuación o disecuación) y por lo tanto con la ecuación o disecuación misma. Líneas rectas, circunferencias, parábolas se convierten así en ecuaciones en las dos variables x, y. Un semiplano se convierte en una disecuación en las dos variables x, y. La operación geométrica de interceptar dos líneas rectas (encontrar su punto común) es traducida en la operación algebraica de buscar el par (x, y) que resuelve simultáneamente dos ecuaciones, es decir, que resuelve el sistema de las dos ecuaciones.
Como se comprende, se trata de un lenguaje potentísimo. Objetos y conceptos geométricos son traducidos en objetos y conceptos algebraicos; la potencia de cálculo del álgebra por lo tanto permite resolver analíticamente los problemas; los resultados pueden ser luego interpretados geométricamente. Por esta vía se vuelven tratables los problemas que para la geometría tradicional (o «sintética») eran inaccesibles o hasta imposibles de formular. Por ejemplo, en el estudio de las curvas planas, la geometría sintética tradicional se había sustancialmente limitado a la clase de las «cónicas» (elipsis, hipérboles, parábolas) que, desde el punto de vista analítico, son las curvas del segundo orden, es decir expresadas por una ecuación polinomial de segundo grado en (x, y). Ahora el lenguaje de la geometría analítica hace natural ponerse el problema de estudiar las curvas de grado superior a 2. Sólo pocas de éstas, en cambio, tienen una definición «sintética» natural, en términos de lugares geométricos; de todas las otras la geometría sintética tradicional podía ni siquiera hablar.
Encontramos por lo tanto un aspecto nuevo del lenguaje matemático: no sólo el lenguaje incorpora en sí ideas y progresos de toda una historia, y por lo tanto «se hace cargo» de una parte importante del trabajo necesario para resolver un problema; el lenguaje también amplía el horizonte conceptual de los problemas que se pueden y que es natural estudiar, sugiere nuevas preguntas, da nuevos horizontes a la búsqueda.
Destacamos algunas de las ideas importantes que están a la base de la geometría analítica y que por lo tanto, históricamente, el afirmarse de este lenguaje ha incorporado definitivamente en la matemática corriente.
La idea de que el conjunto de los números reales sea una buena representación del conjunto de los puntos de la línea recta (y viceversa). Con el lenguaje actual, la correspondencia biunívoca entre puntos de la línea recta y números reales (correspondencia percibida hoy así tan natural de hacer que los matemáticos a menudo digan «la recta real», confundiendo lingüísticamente hasta el objeto geométrico «recta» y el objeto analítico “números reales”). Esta idea en los tiempos de Descartes sólo podía ser intuida, faltando una axiomatización rigurosa sea del sistema de los números reales (será hecha por Richard Dedekind (1931-1916), Georg Cantor (1845-1918), Karl Weierstrass (1815-1897) (en el 1872), sea de los fundamentos de la geometría (será hecha por David Hilbert (1862-1943) (en el 1899). Haber puesto una idea así profunda y simple como fundamento de una entera disciplina, la geometría analítica, es ciertamente un punto sin retorno fundamental en el desarrollo de las ideas matemáticas.
La idea de que la geometría euclidiana se pueda reconstruir desde sus «teoremas centrales», antes que desde sus axiomas. En efecto: la idea de coordenadas cartesianas se basa en las propiedades de las rectas paralelas; la ecuación de la línea recta se basa en el Teorema de Tales; el cálculo de la distancia entre dos puntos a partir de sus coordenadas se basa en el Teorema de Pitágoras. Con estos conceptos, a groso modo, se construye toda la geometría analítica. El fundamento geométrico de la geometría analítica no descansa pues sobre los axiomas de la geometría euclidiana (que en Euclides, además, son formulados de modo carente, poco utilizable para una construcción rigurosa) sino sobre pocos teoremas reconocidos centrales en la geometría euclidiana. Podemos considerar este punto de vista como una mirada pragmática sobre la geometría euclidiana, como decir: sobre la disposición rigurosa de los fundamentos de la geometría podemos discutir al infinito pero los hechos centrales de la geometría euclidiana son éstos: las propiedades de las paralelas, el teorema de Pitágoras, el teorema de Tales.
El punto de vista sobre la geometría euclidiana que consiste en privilegiar el concepto de lugar geométrico (ver una figura como conjunto de puntos con ciertas propiedades), antes que otras posibles descripciones de las figuras geométricas (por ejemplo a través de propiedades «globales»). Considerar una figura como un conjunto de puntos es hoy para nosotros un hecho natural, después de ciento cincuenta años del extenderse en matemáticas del lenguaje de los conjuntos; pero en los tiempos de Descartes no era así. Por ejemplo: para Euclides, un ángulo es la parte del plano comprendida entre dos semirrectas salientes de un punto común; la expresión «parte del plano comprendida entre» no hace referencia explícita a los puntos del plano; nosotros nos expresaríamos más bien así: «un ángulo es el conjunto de los puntos comprendidos entre dos semirrectas salientes de un punto común». Es este punto de vista de conjunto, natural para nosotros hoy, aquel apto para ser traducido al lenguaje de la geometría analítica: los puntos se representan como pares (x, y) de números y una relación entre los puntos se convierte en una relación algebraica entre x e y. El punto de vista analítico-general que la geometría de las coordinadas lleva consigo es por lo tanto uno de los presupuestos de los que podrán nacer el cálculo infinitesimal del Setecientos, el concepto de función y el análisis matemático del Ochocientos, la teoría de los conjuntos del Novecientos. Ninguno de estos desarrollos, naturalmente, es un fruto mecánico de los pasos anteriores, sino cada uno presupone los pasos anteriores. En este sentido el nacimiento de la geometría analítica echa la semilla de una verdadera revolución.

NOTAS
1. Este escrito constituye una reelaboración del texto de una conferencia tenida el 29/11/2001 en la Universidad de Cagliari para las matrículas del curso de licenciatura en matemáticas.
2. Los números con la coma fueron introducidos en Europa por Simón Stevin en 1585, casi 400 años después de la introducción de las cifras indo-árabes, por lo tanto.
3. Mathematical Circles Squared, Prindle,
Weber and Schmidt, 1972.
4. Este problema comparece en la Parte III del Capítulo XII del Liber Abaci. Citado en N. Geronimi: Giochi matematici del medioevo (Juegos matemáticos de la edad media). Bruno Mondadori, 2006, p.6.
5. Además una pequeña fracción de día, que pero el problema no pide expresar.
6. Un ejemplo instructivo de como Al-Kuwaritzmi, matemático árabe del IX siglo al que se debe el primer tratado sobre las ecuaciones, resuelve la ecuación de 2° grado 21 + x2 = 10x es reconducido por ejemplo in Bottazzini, Fregugli, Toti-Rigatelli: Fonti per la storia della matematica (Fuentes para la historia de la matemáticas). Sansoni, 1999, pp.165-6.
7. François Viète, 1591, In artem analytice isagoge, 1600, Algebra Nova.

-
Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 License