¿Por qué los estudiantes no saben solucionar los problemas?
autor: Giorgio Bolondi
fecha: 2011-06-09
fuente: SCUOLA/ Perché gli studenti non sanno più risolvere i problemi?
traducción: María Eugenia Flores Luna

La resolución de problemas ha sido la columna de la enseñanza matemática de la época del papiro Rhind. La resolución de problemas todavía es, según yo, la columna de la enseñanza en los niveles secundarios - y estoy consternado por el hecho de que una cosa tan evidente necesite ser subrayada”. Esta frase es de Georg Polya, matemático húngaro, muy famoso por un libro suyo, How to solve it, quizás el primer gran best seller matemático: ha vendido millones de copias y ha sido traducido en diecisiete lenguas. Conecta sin equívocos la enseñanza de las matemáticas con la resolución de los problemas, y en su estela se ha orientado gran parte de la reflexión didáctica: otra gran investigadora, Anna Zofia Krygowska, ha escrito que “la resolución de problemas no es sólo la forma más eficaz del desarrollo de la actividad matemática de los alumnos, sino también del aprendizaje de los conocimientos, de las habilidades, de los métodos y de las aplicaciones matemáticas”.

Matemáticas y resolución de problemas a menudo son asociadas, por lo tanto, pero esta asociación tiene por lo menos dos caras: de un lado, plantear y resolver problemas es la vía maestra para el aprendizaje; del otro, el desarrollo de la capacidad de plantear y resolver problemas es considerado uno de los objetivos principales de la enseñanza de la disciplina. Es bastante evidente que se trata de dos caras de la misma medalla, aspectos que han sido subrayados en todos los programas y las indicaciones que la escuela italiana se ha dado. Los Programas para la escuela elemental de 1985 afirmaban explícitamente que “el pensamiento matemático es caracterizado por la actividad de resolución de problemas” y el ámbito “Problemas” era (un poco impropiamente) un campo específico del programa, como de la aritmética, de la geometría y de la lógica.

En las Indicaciones (Moratti) actualmente en vigor encontramos objetivos expresados como “Reconoce y resuelve problemas de diverso género analizando la situación y traduciéndola en términos matemáticos”. En las Indicaciones para el curriculum (Fioroni), se restablece la expresión de 1985: “Característica de la práctica matemática es la resolución de problemas, que deben ser entendidos como cuestiones auténticas y significativas, unidas a menudo a la vida cotidiana, y no sólo a ejercicios de carácter repetitivo”. A este enfoque está unida también la posibilidad de mejorar la relación de los chicos con esta disciplina a menudo mal vista y mal experimentada: “De extrema importancia es el desarrollo de una actitud correcta hacia la matemáticas… reconocida y estimada como contexto para afrontar y plantearse problemas significativos”.

También la última reforma del segundo ciclo insiste sobre el mismo punto: en el perfil final del liceo científico se pone como objetivo “comprender las estructuras portantes de los procedimientos argumentativos y demostrativos de las matemáticas… usarlas en particular en el individuar y solucionar problemas de varia naturaleza”. En las Líneas guías para los Técnicos localizar las estrategias apropiadas para la resolución de problemas es uno de los objetivos fundamentales.

Todos de acuerdo, pues. ¿Pero en la práctica es precisamente así? ¿Estamos muy seguros de que la enseñanza de las matemáticas se desarrolla según estos principios, y sobre todo estamos tan seguros de centrar el objetivo?
Los profesores, sobre todo los del primer ciclo, saben que no es así. La experiencia nos propone continuamente situaciones en que los alumnos, frente a un problema de matemáticas, dejan a parte la racionalidad y sentido común. Casos celebérrimos como la edad del capitán han abierto el camino a investigaciones, reflexiones y discusiones: pero en definitiva nos han mostrado cómo la enseñanza de las matemáticas, a menudo, acostumbra a nuestros alumnos a actuar y pensar de modo completamente opuesto, con respecto a nuestros nobles objetivos.

(Un grupo de investigadores franceses puso a niños de la escuela primaria “problemas” del tipo siguiente: Sobre un barco hay 26 ovejas y 10 cabras; ¿cuánto años tiene el capitán? Los niños, casi todos, sin indecisiones contestaron: ¡36! La prueba fue repetida en diferentes condiciones, con otros niños o con chicos más grandes, cambiando la forma de presentación de la pregunta, pero los resultados cambiaron poco).

Una primera, obvia, consideración es que si la práctica didáctica sólo se basa en ejercicios repetidos y técnicas aprendidas mecánicamente, los chicos tenderán siempre a intentar mecánicamente los mismos procedimientos, limitando el uso de la razón y encomendándose ciegamente a los automatismos (“muchos matemáticos tratan de transformar en zombie a los propios alumnos desde el primer momento en que los encuentran”, dijo una vez Vladimir Arnol'd). Otra, es que los profesores en la mayoría de los casos proponen problemas que no son otra cosa que ejercicios disfrazados, y los chicos tratan de solucionar lo que les se propone más por asonancia y semejanza que utilizando el pensamiento. ¿Pero entonces que es de los altos objetivos de los cuales habíamos empezado?

Dentro de pocos días nuestros chicos del liceo científico afrontarán la prueba escrita de matemáticas del examen del Estado - que comprende el desarrollo de un problema, entre dos que sean propuestos -, y la experiencia de los años pasados, en particular aquella de la nueva corrección efectuada por la Invalsi sobre una muestra de pruebas de los años 2007 y 2009, nos ofrece algunas ideas, que pueden transformarse quizás en pequeñas sugerencias para los candidatos.

La primera observación es que nuestros chicos casi nunca llegan al fondo del problema: contestan algún punto, y a medida que proceden dejan los trozos por el camino. El porcentaje de aquellos que llegan al fondo del problema que han elegido es inferior al 10%, y no siempre ocurre eso porque no saben cómo solucionarlo. Un problema a menudo es visto sólo como un conjunto de pasos por hacer, no como una pregunta a la cual tratar de responder; no tiene mucha importancia si los cálculos que hago no llevan a ninguna parte, lo importante es hacer un poco de ellos. Cuenta hacer ver que he estudiado y que sé algo de aquel argumento, no responder a la pregunta. ¿Pero por qué no acostumbramos más a los chicos, al final, a hacer cuentas, a verificar que lo que concluye su trabajo es de veras la respuesta a la pregunta que se había hecho? Además, haciendo así, probablemente tendrían la posibilidad de localizar al menos algunos de los propios errores.
Más en general casi parece, leyendo muchos desarrollos, que la pregunta sea poco importante; lo importante es aplicar alguna fórmula de aquellas que han sido estudiadas en aquel contexto. Casi nunca en los desarrollos se leen frases del tipo “como tengo que encontrar esto, entonces hago esto otro”. Casi nunca nuestros chicos explican por qué hacen cierto cálculo, o que relación tiene con la pregunta del problema la construcción que están haciendo. Claude Lévi-Strauss decía que el científico es el hombre que pone las verdaderas preguntas, no aquel que da las respuestas. Nuestros chicos parecen poco interesados a comprender las preguntas: quizás porque están poco acostumbrados, al menos en matemáticas, a buscarlas y a comprender el sentido.

En los desarrollos, las afirmaciones individuales a menudo son desunidas; casi nunca se expresa el nexo entre un cálculo y el otro, entre una construcción y la siguiente. Falta, o no es puesta en campo, la capacidad de construir argumentaciones articuladas. Quien corrige hace fatiga a encontrar el diseño total, la estrategia de resolución.

Quizás también porque viciados por demasiados ejercicios siempre iguales, las elecciones de los chicos (que tienen que elegir 5 preguntas de 10 que se proponen) se orientan, inevitablemente, a preguntas que les parecen familiares, descuidando sistemáticamente aquellas que tienen aspecto o formulación insólita - que a menudo sin embargo son los más simples. En los últimos años las preguntas más selectas casi siempre han sido aquellas en que el porcentaje de éxito ha resultado dramáticamente más bajo. Un pequeño consejo también aquí: mirar lo que pide la pregunta, esforzarse por entender el sentido incluso antes de tratar de encontrar qué formula o cuál procedimiento hará falta utilizar para responder; no eligir fijándose solamente en los contenidos, al hecho de que los símbolos que vemos escritos nos recuerdan una página entera de ejercicios del libro. En 2009 la inmensa mayoría de los chicos ha elegido calcular un límite de aspecto familiar y el 80% de ellos ha caído en el mismo, previsible, error. Confianza ciega en el aspecto exterior.

Chicos, a menudo responder es más fácil de lo que piensan; sólo que no piensan bastante a qué cosa tienen que contestar.

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