Vastedad e infinito en la ciencia
autor: Steven Beckwith
Space Telescope Science Institute, Baltimora, MD, USA
Edward Nelson
Docente de Matemáticas en el Department of Mathematics, Princeton University, NJ, USA
Marco Bersanelli (moderador)
Docente de Astrofísica de la Universidad de los Estudios de Milán, Italia
fecha: 2006-08-21
fuente: Vastità e infinito nella scienza
acontecimiento: Meeting per l’amicizia tra i popoli: "La ragione è esigenza di infinito e culmina nel sospiro e nel presentimento che questo infinito si manifesti", Rimini, Italia
(Meeting para la amistad entre los pueblos: "La razón es exigencia de infinito, y culmina en el presentimiento y el anhelo de que este infinito se manifieste")
traducción: María Eugenia Flores Luna

Moderador: Buenos días a todos, bienvenidos a este encuentro. El título del Meeting de este año (La razón es exigencia de infinito, y culmina en el presentimiento y el anhelo de que este infinito se manifieste) pone al centro de la atención la relación entre la razón humana y el infinito. Es por lo tanto un título que interroga en profundidad, diría provoca de modo irresistible a quien se ocupa de investigación científica. Y en efecto la idea de infinito, el concepto de infinito ha atravesado un poco toda la historia de la ciencia desde sus albores. De Pitágoras a Cantor a los primeros filósofos científicos medievales, hasta Einstein, hasta los científicos modernos. Matemáticos, astrónomos y físicos se han topado de una parte con la vastedad del universo, y por la otra de una forma u otra con aquel infinito que en las matemáticas emerge, también con todas las paradojas y dificultades pero ciertamente con todo el atractivo que la idea de infinito lleva consigo. Por tanto, el Meeting de este año, naturalmente como también en las ediciones precedentes, tiene muchas ocasiones, diversas propuestas de ahondamiento del tema central bajo la ángulo particular de la ciencia. Y el de hoy es solamente el primero de una serie de acontecimientos.
Este año, de verdad, también ha sucedido algo nuevo, de lo cual quería dar noticia porque el título del Meeting de este año ha llamado la atención de un grupo de una veintena de estudiosos de las más prestigiosas universidades de todo el mundo que se han reunido, han llevado a cabo un congreso en San Marino hace unos días, a nivel especializado, interdisciplinario, justo sobre el tema del infinito. El congreso ha sido organizado por la fundación John Templeton, con la que tenemos desde hace años una relación muy cordial y fructuosa, del CTNS de Berckeley en California, de la asociación Euresis, en colaboración con la universidad de San Marino. Este seminario científico es el primero de una serie que cada año esperamos poder proponer como tema del Meeting.
Pero volvamos ahora a nuestro tema. La palabra infinito evoca enseguida la idea de una vastedad, y la vastedad del cosmos es quizás la señal más potente, más atrayente que la naturaleza nos ofrece del infinito. Lo testimonia la atención con la que todas las generaciones humanas se han mirado el cielo en modos diferentes, descubriendo la señal de un gran misterio. Y luego, en los años más recientes, a través de la ciencia, teniendo la posibilidad de descubrir algo del orden oculto que mueve toda la realidad en sus más vastas dimensiones. Y cada vez que las observaciones nos permiten plantear una nueva fase de la realidad, es como el descubrimiento de una nueva belleza, de un nuevo misterio.
Creo que hoy tendremos un gran testimonio de esto. Pero además de la vastedad del cosmos, ciertamente el otro frente o un frente en el cual la razón científica se encuentra directamente al reparo de la idea de infinito es la matemática. Los niños, en cuanto aprenden a contar, de algún modo se topan con la idea de la infinidad del número, concepto elemental. Los matemáticos han descubierto que bajo ciertas hipótesis existen jerarquías diferentes de infinito, niveles diferentes de infinito, y que también la manipulación de números finitos requiere una cierta idea de infinito. Pero no todos los matemáticos están de acuerdo al interpretar el infinito por lo que es en matemáticas, como hemos tenido diversos comentarios en las discusiones en San Marino. Y hay por lo tanto problemas aún abiertos, fascinantes, sobre este tema.
Antes de introducir a nuestros huéspedes quería hacer una última observación. Creo que la experiencia de cada uno de nosotros muestra que la vastedad del universo y el infinito de las matemáticas no son aquel infinito al que el corazón del hombre tiende. Ninguna cantidad de espacio, ningún número, por cuanto infinito, puede apagar realmente el deseo del hombre. Más bien, esta vastedad y este infinito matemático son como señales de aquella realidad de la cual todas las cosas son constituidas. Señales sublimes, maravillosas. Justo por esto, nosotros queremos dejarnos conducir a la realidad tal como es, para poder apreciar con mayor claridad el punto de fuga que por el conocimiento de la realidad podemos aprender, aquel punto de fuga hacia aquel infinito del que nuestro corazón es en espera.
Agradezco por lo tanto a Steven Beckwith y Edward Nelson, que son nuestros dos huéspedes de esta noche. Un gran astrofísico y un gran matemático que laboran desde hace años en la frontera de los respectivos campos de investigación. Déjenme decir sólo dos palabras de cada uno, sobre su extraordinaria presencia en el mundo científico mundial. Steven Beckwith, a mi derecha, es director del Space Telescope Science Institute, del instituto que gobierna las operaciones científicas del telescopio espacial Hubble, y es profesor de física y astronomía en la John Hopkins University a Baltimora. Ha enseñado por trece años en el departamento de astronomía del Cornell University y también ha sido director del instituto Max Plank para la astronomía, por lo tanto en Europa, en Hiderberg, en Alemania. Sus intereses científicos conciernen principalmente a la formación y la evolución de los planetas, de las estrellas, de las estrellas jóvenes, del nacimiento de las galaxias en el universo primordial. Quisiera añadir que Steven Beckwith ha tenido un rol de primer orden en todo el desarrollo de la empresa del telescopio espacial Hubble, y recientemente también en la preparación del telescopio espacial de segunda generación, el James Web Space Telescope. En particular, cuando hace unos años la NASA ha anunciado la decisión de suspender definitivamente las operaciones del telescopio Hubble, Steven ha tenido un rol fundamental en subvertir - digamos - esta decisión y, compatiblemente con el desarrollo del programa Shuttle, de hecho la NASA ha decidido continuar las operaciones del telescopio espacial. Verdaderamente le debemos a él si esta gran oportunidad de observación aún está disponible.
También introduzco al segundo speaker, que hablará enseguida después de Steven, Edward Nelson. Y enseña matemáticas en la prestigiosa universidad de Princeton, donde ha sido profesor por más de cuarenta años, y es famoso por sus trabajos en física, matemáticas y lógica matemática, en particular por el así llamado "Internal Set Theory". También ha trabajado en la universidad de Chicago y ha sido miembro del "Institute for Advanced Study". Edward Nelson ha contribuido de modo fundamental en la teoría de la representación de grupos de dimensión infinita, en la disertación matemática de la teoría cuántica de los campos, con una implicación física importante, y al estudio de los procesos estadísticos en mecánica cuántica. Y además ha trabajado por muchos años sobre aspectos de la teoría de la probabilidad. Recientemente se ha dedicado sobre todo a la lógica matemática y a los fundamentos de las matemáticas.
La palabra a Steven Beckwith.

Steven Beckwith: Buenos días, deseo dar las gracias a los organizadores por haberme invitado a este bellísimo lugar, a este interesante encuentro. Mi intención es hablar de cuánto hemos aprendido en este campo en los últimos doscientos años sobre la infinidad del cosmos. Nadie efectivamente puede decir cuándo nuestros antiguos antepasados levantaron por primera vez los ojos al cielo, pero seguramente se trataba de hace mucho tiempo. Encontramos artefactos de antiguas culturas que evidencian una gran curiosidad con respecto al cielo, que tenían a veces una naturaleza práctica, a veces religiosa, pero seguramente evidenciaron el deseo de comprender el profundo nexo entre las insondables profundidades de los cielos y la vida de todos los días.

Slide: Stonehenge
Aquí tenemos un ejemplo de una antigua estructura que fue erigida, que evidencia el interés con respecto al cosmos y el hecho de que para ellos el concepto de cielo e infinito eran una única cosa. La palabra cielo tiene connotaciones sea religiosas que físicas. Naturalmente no tengo intención de ocuparme del aspecto religioso de este concepto sino me ocuparé del enfoque científico. El significado físico ha sido modificado en el curso de los siglos por nuestras observaciones, por lo tanto yo puedo hablar detalladamente de nuestro rol en el ámbito físico de los cielos, y de los desarrollos que han ocurrido en los últimos cuatrocientos años, en particular en las últimas décadas.

Slide: Galileo Galilei y sus telescopios
En Italia ocurrió el primer y más importante descubrimiento revolucionario, que fue hecho por Galileo Galilei. Él sabía de la existencia de un dispositivo que enfocaba los objetos lejanos, un telescopio que había sido proyectado por un fabricante de lentes holandés, Hans Lippershey en 1608. A lo largo de algunas semanas, Galileo logró crear un telescopio propio, logrando amplificar de 60 veces algunos objetos. Gracias a este descubrimiento él modificó para siempre nuestro concepto y nuestra comprensión de los cielos y del universo.

Slide: un documento de Galileo sobre Júpiter
Aquí vemos dos páginas publicadas hace muchos años. Se trata de un documento que habla de los importantes descubrimientos de Galileo, concierne a Júpiter. En la parte inferior de la primera página podemos ver algunos diseños hechos por Galileo. Conciernen a Júpiter con sus cuatro planetas. Él descubrió que Júpiter estaba en el centro de una actividad de revolución. En la misma relación entre la tierra, el sol, la luna y las estrellas. Y él de este modo modificó completamente la teoría geocéntrica de Tolomeo sobre el movimiento del universo. Una imagen actual de Júpiter nos indica qué cosa efectivamente podemos ver con los telescopios modernos. Ésta es una imagen que vemos con el telescopio Hubble. He aquí una de las lunas de Júpiter en una específica fase del planeta, por lo tanto podemos ver que Júpiter está al centro de la revolución de este sistema.

Slide: observaciones de Galileo sobre Venus
En esta imagen vemos los grandes descubrimientos hechos en los primeros dos años de observaciones de Galileo, que modificaron completamente nuestra comprensión del planeta. Aquí vemos el planeta Venus que tiene fases, y por lo tanto es iluminado de manera variable. Copérnico, gracias a su teoría sobre el sistema solar, logró prever una serie de secuencias específicas del planeta Venus, que vemos a la derecha, muy diferentes de aquellas previstas por Tolomeo a la izquierda. Y Galileo logró confirmar la teoría copernicana en el giro de dos años, utilizando su telescopio y modificando para siempre nuestra comprensión del universo.

Slide: la Luna contra la Vía Láctea
Dos entre los más importantes descubrimientos fueron aquellos relativos a la Luna y a la Vía Láctea. El telescopio era suficientemente potente para evidenciar los picos de las montañas de la luna. De este modo Galileo se dio cuenta que Luna y Tierra eran muy parecidas: un planeta como la luna era muy similar a la Tierra. La Vía Láctea: cuando él la observó por primera vez, logró localizar una serie de estrellas. La Vía Láctea es una gran nebulosa vista desde la Tierra, pero también con un telescopio a baja resolución ahora podemos ver que ella está constituida por mil millones de estrellas, como Galileo vio la primera vez, y además muy parecida al Sol.
Estas observaciones fueron muy importantes porque nos llevaron al concepto de infinito. Prácticamente el infinito era una cosa absolutamente ajena a la Tierra, lejana. La Luna, los planetas, las estrellas, la Vía Láctea, eran el infinito para el hombre. Gracias a los descubrimientos de Galileo, fueron removidos algunos elementos misteriosos relativos al infinito. Nos permitieron entender las cosas en términos físicos más familiares. Luego, el hecho de que la tierra no se encontrara más al centro del universo evidenciaba el hecho de que el infinito y el cosmos no habían sido concebidos a nuestro exclusivo beneficio.

Slide: cuatro siglos de descubrimientos
Ahora, quisiera resumir centenares de años de progresos astronómicos en algunas diapositivas, para poder pasar luego a la idea moderna de cosmos. En esta imagen vemos un gráfico: sobre el eje horizontal de las abscisas vemos el tiempo relativo a la observación astronómica, del Medievo a hoy, mientras en el eje vertical vemos el mejoramiento en términos de potencia del telescopio. Naturalmente Galileo con el primer telescopio aumentó nuestra capacidad de observar los cielos cerca de cien veces, por lo tanto fue el más grande paso hacia adelante cumplido en términos de mejoramiento de los telescopios. No está presente en todo caso el telescopio de Hubble. Hemos mejorado en el curso del tiempo nuestra potencia de observación, mejorando las características tecnológicas de las lentes, de los espejos, luego con la fotografía, y por lo tanto hemos mejorado naturalmente nuestra sensibilidad de observación de un millón de veces. Mientras tanto, hemos descubierto nebulosas, cluster de estrellas, galaxias, agujeros negros y materia interestelar.
En esta diapositiva, vemos algunos de los momentos históricos a partir de la observación hecha por Galileo que dio un salto hacia adelante en términos de cien veces mejor sensibilidad, y luego naturalmente hablaremos del telescopio de Hubble. De aquí derivan dos importantes conceptos. El primero: el aumento de la capacidad de observación ha hecho que podamos comprender aspectos más detallados del universo. La astronomía es una ciencia observacional que depende de la capacidad de los telescopios. Aumentando la potencia de los telescopios, hemos podido observar objetos cada vez más lejanos. Esto significa que nuestro concepto de infinito ha sido desplazado cada vez más allá, cada vez más lejos, y nos ha permitido estudiar las regiones más lejanas del universo que pueden ser ahora conmensurables en términos físicos. Por tanto, la historia de la astronomía es la historia de un desplazamiento del horizonte del infinito, haciendo visibles distancias que antes no podíamos ver.

Slide: Globular cluster
Hubo dos importantes momentos desde los primeros descubrimientos de Galileo. Ante todo la observación de la dimensión de la Vía Láctea. En los siglos XVIII, XIX, los observatorios astronómicos notaron un cluster de estrellas parecidas a la Vía Láctea, pero con una estructura diferente, esférica. Sabemos que un cluster de estrellas contiene cerca de cien mil a un millón de estrellas, y se encuentra en el halo de la Vía Láctea.

Slide: GEMS galaxy fields
Estas nebulosas tenían un aspecto de bandas continuas de luz con una forma a espiral. La galaxia de Andrómeda o M31 y las nubes de Magallanes son un interesante ejemplo en este sentido. Al inicio del siglo XIX hubo un encendido debate sobre la naturaleza de estas formaciones; se interrogaban si fueran una prolongación de la Vía Láctea o algo completamente diferente. En aquellos años se pensaba que la Vía Láctea representara todo el universo y el resto sólo fuera el vacío infinito.

Slide: Hubble & los dos grandes descubrimientos
Edwin Hubble efectuó dos interesantes estudios en los años Veinte, intentando solucionar estos misterios. Utilizó el telescopio del monte Wilson en California y logró estudiar muchas estrellas en la galaxia de Andrómeda, que él llamó Cefeidas. Se trataba de estrellas a una distancia de más de un millón de años luz. Un año luz es la distancia que la luz cumple en un año. Digamos que la estrella más cercana a la tierra se encuentra a una distancia de tres años luz. Con respecto a la galaxia de Andrómeda, nuestra distancia es cerca de un millón de años luz. Andrómeda es tan grande como toda la Vía Láctea. Las nebulosas parecen muy pequeñas en el cielo y están muy, muy lejanas. Entonces se nos dimos cuenta de que el infinito es extremadamente amplio.

Animación: gráfico de Hubble
Un segundo e importante descubrimiento hecho por Hubble fue el siguiente. Las galaxias se alejan de nosotros a gran velocidad y se alejan entre ellas a gran velocidad, a una velocidad que es directamente proporcional a su distancia. Aquí vemos el gráfico de Hubble. El eje vertical representa la velocidad en km/s - es un poco difícil de leer, probablemente - pero la primera señal es 10000 Km/s por lo tanto una gran velocidad. En la abscisa vemos la distancia medida en millones de parsec o bien años luz, para decirlo de modo más simple.
Aquí hemos visto que el universo parece haber tenido origen en un estallido individual que ocurrió muchísimo tiempo atrás, por lo cual todas las galaxias que vemos hoy, que se alejan a gran velocidad la una de la otra, son el resultado de una gran explosión, el Big Bang como lo conocemos. Si pensamos en una explosión toda originada en un punto, en cierto momento, después de un poco estos objetos duplican la velocidad, duplican la distancia. Esto es cuanto ocurre actualmente en el universo. Podemos hacer hasta extrapolaciones sobre la velocidad para entender la edad del universo, que es poco menos de 14 mil millones de años. Entonces decimos que el universo no tiene un pasado infinito, tiene un futuro infinito.
En las próximas diapositivas veremos cuáles son los enfoques que nosotros utilizamos hoy con respecto al universo observable. Aquí podemos ver que desde los tiempos antiguos, en los que sólo podíamos concebir la distancia hasta la luna, ahora hemos llegado a horizontes mucho más lejanos, en el cual vemos el sistema solar, vemos la distancia entre la tierra y el sol. Aquí tenemos el eje abajo que indica algunos mil millones de km y la distancia entre los diversos objetos estelares, cerca de 10 mil millones de km del primero al último. Naturalmente éstas son distancias pequeñísimas para los astrónomos. Ahora, los que estudian las distancias entre los planetas son llamados científicos planetarios, como si fueran una parte separada de la astronomía.

Slide: la nube de Oort
Aquí tenemos la nube de Oort, que comprende la mayor parte de los cometas que entran en el sistema solar. Fue descubierta por un astrónomo holandés, Jan Oort, y vemos que la nube de Oort se extiende de un año luz a partir del sol a cerca de un tercio de la distancia hasta la próxima estrella más cercana.

Slide: la nebulosa de Orión
Esta diapositiva evidencia la nebulosa de Orión, que a veces se puede ver a simple vista en el hemisferio boreal: se la ve durante el invierno. Esta nebulosa tiene una amplitud de un décimo de año luz y se encuentra a una distancia de unos 1500 años luz de nosotros. Queda dentro de la Vía Láctea, pero indudablemente ha representado un objeto remotísimo para los primeros observadores.

Slide: NGC 3132
Alejémonos, vamos a unos 2000 años luz. Ésta es la nebulosa de planetas conocida con el nombre de NGC 3132. Se trata de una nebulosa gaseosa cuyo ancho está cerca de año y medio luz. Hace parte de la Vía Láctea y bien se puede estudiar con los nuevos telescopios. Los primeros observadores veían que se trataba de grandes objetos de forma esférica, pero no podían distinguirlos muy bien de los planetas, por eso los llamaron nebulosas planetarias. Son el resultado de estrellas moribundas, no tienen nada que ver con los planetas, y por lo tanto son las estrellas moribundas que dan origen a estas nebulosas.

Slide: cluster NGC 265 en la pequeña Nube de Magallanes
Aquí vemos un cluster de estrellas. Se ve bien, no se encuentra en la Vía Láctea sino en la pequeña Nube de Magallanes. Ancho 65 años luz, distancia 200.000 años luz. Es interesante observar estas imágenes porque nos indican que las galaxias son muy parecidas entre ellas. Decía hace poco que fueron estudiadas las galaxias a espiral, que pueden ser estudiadas con gran abundancia de detalles.

Slide: galaxia en espiral NGC 3949
Ésta es una galaxia a espiral que se encuentra a 50 millones de años luz de distancia de la Vía Láctea. Es un ejemplo de un ambiente familiar, conocido, pero a una gran distancia. La luz que emana de esta galaxia fue originada hace muchos millones de años. Una luz que todavía viaja. Estudiamos galaxias como éstas en continuación, son ya objetos muy familiares a todos los astrónomos, y pueden ser utilizadas para entender mejor cómo cambia el universo en el curso del tiempo. Estamos llegando a distancias aún más interesantes.

Slide: cluster de galaxias Abell 2218
Éste es un cluster de galaxias que se encuentra a una distancia de cerca de 13 mil millones de años luz del sistema solar. Gracias al telescopio de Hubble, podemos evidenciar todas estas galaxias que son constituidas principalmente por objetos elípticos y a espiral. Ven, todas las galaxias en esta imagen son regulares en términos de forma, no hay ningún caos, han nacido hace muchos años y con el pasar del tiempo han consolidado su forma, elíptica o a espiral. La resolución de esta imagen es tan buena que es posible ver distancias que están muy, muy lejanas, gracias a las "lentes gravitatorias" hechas posibles gracias a los estudios de Einstein y a la relación entre luz y gravedad. Estas galaxias existen desde tiempos antiquísimos, hacen parte de la historia del universo, y hay muchísimas de ellas en el cosmos.

Slide: simulación de milenio en una estructura a escala ancha
Por fin, en esta panorámica corta, podemos ver una imagen de galaxias que podríamos estudiar a una distancia de 30 mil millones de años luz, que es actualmente la distancia de la que más allá no podemos ir. Éste es un modelo computarizado, cada puntito representa una nueva galaxia. Naturalmente no me detengo en los detalles de estas reconstrucciones matemáticas. Digo sencillamente que hemos empezado a confrontar estas imágenes con nuestras teorías, y naturalmente esto nos permite comprender bien la historia del universo.

Slide: HUDF
En fin, naturalmente no puedo prescindir de hacerles ver Hubble Ultra Deep Field. Es digamos la parte más lejana del universo que hemos podido ver gracias al potente telescopio Hubble. Hay más de 10.000 galaxias en esta imagen y la resolución es muy buena, pero tratamos de ver algunos de los aspectos más bellos, gracias a un truco, naturalmente. Cuando hemos notado esta imagen hace tres años, lo hemos hecho de modo casi bíblico, debo decir. Creo que esto está en línea con el espíritu que los anima. Hemos iniciado nuestros estudios en septiembre de 2003 y por unos cuarenta días y noches naturalmente hemos observado el cielo y luego hemos reposado. Y hemos reposado hasta el principio de diciembre. Luego hemos tomado el telescopio y hemos observado el cielo por otros cuarenta días y otras cuarenta noches y luego nos hemos detenido el 16 de enero de 2004, además es el cumpleaños de mi mujer y le he prometido que me habría tomado un día libre. Pero aquel día el administrador de la NASA nos ha reunido anunciando que habría suspendido para siempre el programa Hubble. Y por lo tanto he violado la promesa hecha a mi mujer, he ido a la NASA y naturalmente he tenido que hacer a aquel punto una serie de elecciones políticas. Pero de todas maneras ahora volvemos a la astronomía y a la ciencia.
Ésta es una cosa que se puede hacer también en casa, naturalmente tengo que darles las direcciones justas. He aquí, éste es el skywalker, tomemos este círculo, lo arrastramos y podemos ver las diversas galaxias en el campo de Hubble HUDf y vemos cuán bello es el universo en sus principios. La luz que emana de estas galaxias, en particular aquellas rojizas que se ven de vez en cuando, nos hace entender que estas galaxias nacieron hace cerca de 13 mil millones de años, cuando el universo tenía una dimensión mucho más limitada con respecto a hoy. Si observamos estas imágenes, vemos que estas galaxias son muy diferentes con respecto a aquellas de hoy. Éstas al centro son galaxias del universo primordial, pero no tienen aquella forma elíptica, espiral, lisa de las galaxias actuales, porque estamos fijándonos en tiempos antiguos en que el universo no había aún forjado las primeras galaxias. Nosotros estamos realmente mirando los principios, y es una evidencia que indica que el universo ha cambiado muchísimo en los últimos 13 mil millones de años. Que les guste la teoría del Big Bang o no, no podemos negar que las galaxias del primer universo fueran completamente diferentes de las galaxias de hoy.
Ven en estos paneles dos cosas. Ante todo, la edad del universo de hoy es justo 13,7 mil millones de años. Aquí tenemos cinco imágenes de galaxias con la edad del universo, cuando estas galaxias iniciaron a emitir luz. A 9 mil millones de años la primera galaxia inició a emitir luz. Luego, remontándonos en el tiempo vemos una serie de galaxias. 3 mil millones de años, 2 mil millones de años, menos de mil millones de años después del Big Bang. Las galaxias se ponen cada vez más caóticas, disminuye su dimensión y asumen un color rojizo. Esto ocurre prácticamente a todas las galaxias que existían en el momento primordial entre el Big Bang y los tiempos de hoy. He aquí, ésta es nuestra idea de infinito, y es muy diferente de la que se tenía en el pasado. Ahora ella se puede cuantificar en términos físicos. Naturalmente esto no tiene que ser una sorpresa para nosotros.

Slide: evolución del diagrama del universo
Veamos en este gráfico en forma esquemática lo que debería haber ocurrido después del Big Bang. En los primeros centenares de millares de años el universo estaba constituido por partículas elementales, después de que los electrones, los protones se unieran y empezaran a emitir luz, a formar átomos de hidrógeno. Luego, por muchos años, hubo la así llamada época obscura, hasta iniciaron a formarse las galaxias. Hubble nos permite ver los tiempos del nacimiento de las primeras galaxias, algunos millones de años después del Big Bang. Con los telescopios modernos podemos remontarnos a los tiempos de la radiación de las microondas del contexto cósmico, y esto nos permite entender lo que ocurría en tiempos antiquísimos. Aquí vemos las oscilaciones de temperatura en el campo de las microondas. Pronto será lanzado un satélite que permitirá estudiar el universo de modo revolucionario.

Slide: COBE variaciones de temperatura
Aquí vemos las variaciones de temperatura del background de microondas. Con una temperatura de 2,725 grados Kelvin, con variaciones en diversos campos.

Slide: COBE temperatura, Norte y Sur
El espacio es uniforme, como vemos en esta imagen. Es una cosa increíble. Si miramos una parte del cielo, he aquí éstos son el hemisferio Norte y el hemisferio sur, vemos que como fin práctico las temperaturas de estos dos ámbitos del cosmos son más o menos las mismas.

Slide: Diagrama
¿Cómo es posible esto? Si pensamos que el universo se expande en continuación, hay zonas tan remotas que no deberían ser parecidas, pero estudiando precisamente estas diferencias de temperatura descubrimos que no son sustanciales, son dos regiones lejanas y es imposible que la luz haya pasado entre ellas dos. Pero ellas son muy parecidas, como vemos en este gráfico, el universo observable es éste, de cerca de 14-15 mil millones de años como edad, pero si estudiamos la luz emitida en este período de tiempo en diversas partes del cosmos vemos que las diferencias son mínimas. Son zonas que en todo caso no se han puesto nunca en contacto entre ellas por lo tanto, ¿cómo es posible que sus temperaturas hayan sido reguladas de modo de ser más o menos parecidas?

Slide: inflación y Big Bang
Ésta es la así llamada teoría del problema del horizonte, la matemática moderna trata de estudiar este problema. Naturalmente es un problema que podrá ser solucionado y se supone que el universo esté yendo al encuentro de un proceso de inflación después del big bang. Es una teoría más bien exótica que nos permite hacer algunas suposiciones sobre la teoría de la radiación cósmica de back round, el estudio de las temperaturas continuará en los próximos años gracias al satélite que será lanzado y que nos permitirá conseguir muchas informaciones sobre el argumento.

Slide: expansión del universo
Es interesante también estudiar la velocidad de expansión del universo, nos hemos percatado que hemos pasado a una segunda fase de expansión del universo. Naturalmente se ha tomado en consideración la posibilidad de que todo ralentizase después del big bang - a la izquierda -, o que todo acelerase - como vemos a la derecha -. En los últimos años hemos podido confirmar que ésta es la posibilidad que queda mientras las otras han sido desmentidas, por lo tanto prácticamente nos encontramos en un período en que no sólo el universo sigue expandiéndose, sino lo hace a una velocidad creciente. Y por lo tanto ya hemos desplazado el confín del infinito para el pasado, pero este confín del infinito para el futuro sigue avanzando.

Slide: descripción de la tecnología moderna
Aquí vemos una descripción de la cosmología moderna. Naturalmente sabemos que el universo ha nacido de un punto infinitamente pequeño en un cierto momento del tiempo, hace 13 mil millones de años: el big bang, luego este proceso ha llevado a la formación de una serie de cuerpos celestes. No podemos ver más allá del así llamado horizonte de los eventos de hace cerca de 14 mil millones de años y esto define la entidad de nuestro universo que ya no es infinito, no sabemos si el espacio más allá es infinito, pero sabemos seguramente que el espacio es más amplio que nuestro horizonte de los acontecimientos. Una de las cosas más extravagantes es que la materia que nos constituye - electrones, protones, neutrones, helio, etc. -, sólo constituye el 5% del universo, el remanente 95% es constituido por materia obscura, energía obscura cuya presencia podemos demostrar pero cuya composición no conocemos. Pero creo que en el futuro podremos hacerlo haciendo una serie de experimentos y creo que éste es uno de los aspectos más interesantes de nuestro trabajo.
Este gráfico ya lo hemos visto, evidencia las mejoras hechas en la potencia de los telescopios a partir de Galileo. Fue el telescopio de Galileo Galilei que nos hizo hacer el primer salto hacia adelante. Y ésta es la potencia del telescopio de Hubble: gracias a él hemos podido aumentar nuestra capacidad de observación de un salto que es de la misma entidad del telescopio de Galileo. No es una casualidad que hayan sido hechos descubrimientos tan interesantes gracias a Hubble, que es un telescopio potente porque nos ha permitido remontarnos al tiempo en que las galaxias eran muy jóvenes. Esto es lo que será el telescopio que lanzaremos en 2013, que mejorará seguramente muchísimo nuestra capacidad de observación, nos permitirá estudiar las primeras estrellas, las primeras galaxias de modo que ellas podrán ser más familiares a todos nosotros. Una imagen casi un ícono, diría, porque nos hace comprender cuáles han sido los grandes pasos hechos en el conocimiento del cosmos gracias a las tecnologías modernas: no sólo hemos podido demostrar que la luna, que en un tiempo estaba al confín infinito, ahora es un lugar de todos los días.
Queremos continuar en esta dirección, en el curso de los últimos 400 años hemos desplazado el misterio, el confín del infinito, desplazando los confines de modo que el universo sea una cosa cada vez más comprensible. Sabemos que tiene una edad de 14 mil millones de años, podemos observar la luz hasta el horizonte de los acontecimientos y de esto podemos deducir una serie de teorías que nos permiten comprender el universo eliminando en muchos casos el misterio del infinito. Nuestro conocimiento nos ha permitido eliminar muchos elementos misteriosos sobre el infinito pero no sabemos qué nos reserva el futuro, sabemos que aún hay muchos misterios pendientes… Cierto, quizás el pasado es desconocido, pero el futuro es conocible, en todo caso es un infinito sobre el que tenemos que seguir reflexionando. Gracias por su atención.

Moderador: ¡Gracias, Steven, por este fascinante viaje en la vastedad del universo. Ahora tenemos a Edward Nelson que nos introducirá a la magia del infinito matemático… en italiano, ¡atención!

Edward Nelson: Doy las gracias al profesor Bersanelli por la invitación, para mí es un gran honor y un gran placer. Conozco a Marco desde hace tres días y ya sé de haber encontrado un alma excepcional. Quiero también agradecer calurosamente a los colegas que, aquí en el Meeting, han solucionado el problema de la presentación con el ordenador.
"Dios condujo fuera a Abraham y le dijo: "Mira el cielo y cuenta las estrellas si las puedes contar". Y añadió: "Tal será tu descendencia" ", Génesis, 15.5.
Se usan los números para contar. ¿Qué es un número? Una primera respuesta es que los números son 0, 1, 2, 3,…, un amigo nuestro,… etc. al infinito. He aquí el ejemplo de un número, habría podido dar otro ejemplo, en efecto hay una infinidad de números, pero este número es muy interesante, de él hablaré más tarde.
He aquí el más antiguo problema abierto de las matemáticas: un número es dicho perfecto cuando es la suma de sus divisores. Por ejemplo, los divisores de 6 son 1, 2 y 3, y en efecto 6 es la suma de 1+2+3. También 28 es perfecto: las divisorias son 1, 2, 4, 7, 14 y la suma es 28. Este concepto se remonta a Pitágoras (c. 582 - c. 507 AC). Pitágoras es una figura extraordinaria, ha creado las matemáticas como ciencia deductiva es decir ha creado las matemáticas como los matemáticos entienden las matemáticas. En la Magna Grecia, es decir aquí en Italia, ha fundado una sociedad, sociedad pitagórica, se dice a veces una hermandad pitagórica pero eso es un error, porque las mujeres y los hombres hacían parte igualmente de esta sociedad científica y religiosa, era un hecho raro para su época y desafortunadamente después de otros 2500 años de opresión de las mujeres aún hoy es demasiado rara. Los antiguos conocían cuatro números perfectos, hemos visto 6 y 28, hay otros dos: dicho así parece un hecho banal, sin interés. Pero hay una estructura muy bonita escondida dentro. La belleza en las matemáticas es una belleza conceptual, no se ve la belleza matemática con el ojo sino se ve la belleza con la razón, hablo de la razón que es exigencia de infinito. Es un poco más difícil ver con la razón y he oído decir que hay gente que no ama las matemáticas, esto para mí es un poco difícil de entender pero les ruego… no por todo el discurso, sino por tres minutos les ruego prestar atención a una matemática un poco técnica. No se asusten, cuando acabe no habrá un examen.
Un número es dicho número primo si no hay divisores. Por ejemplo, 1, 3, 5, 7, 11, 13 son números primos. Euclides (c. 325 - 265 AC) mismo demostró que existe una infinidad de números primos. Las potencias de dos son 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128. Cada potencia de dos se obtiene del precedente duplicándolo: 8 es el doble de 4. Para algunas potencias de dos se ve que el número -1 es un número primo: por ejemplo 4 -1 =3 es un número primo; 8-1 =7 es un número primo, también 32-1 y 128-1. Un número primo de esta forma hoy es dicho número primo de Mersenne. Mersenne era monje, matemático, teólogo, musicólogo (1588-1684). Euclides demostró que si 2 a la n (es decir 2 multiplicado n veces) - 1 es un número primo de Mersenne, entonces este número multiplicado por 2 a la n - 1 es un número perfecto. Hago un resumen: hay tres conceptos diferentes, número perfecto, potencia de dos y número primo. Euclides ha demostrado una unión entre estos tres conceptos, una unión sorprendente. Es importante notar que Euclides demostró no sólo su teorema para los cuatro números primos de Mersenne conocidos en aquella época, sino para cada número primo de Mersenne. Hoy conocemos 43, y entonces conocemos 43 números perfectos, comprendido nuestro amigo, el que hemos visto. Aquí se ve bien: 2 a la potencia de 2280, multiplicado por 2 a la potencia de 2279. Ésta es la estructura que Euclides ha demostrado. El más grande número perfecto que conocimos en agosto de 2006, es éste: 2 a la potencia de 30402456, multiplicado por 2 a la potencia de 30402457 - 1: un número muy grande.
¿Existe una infinidad de números perfectos? No sabemos. La cuestión no tiene ningún sentido práctico, que yo sepa, pero ¡aquí nos encontramos frente al infinito! Los matemáticos dedican la vida a la investigación de tales problemas. Personalmente, yo no me encontraré avergonzado por esto cuando el Señor me pregunte: "¿Qué has hecho de la vida que te he dado?”. Más de 2000 años después de Euclides, Euler, el más grande matemático del '700 (1707-1783) demostró que cada número perfecto par era de la forma de Euclides. ¿Existe también un número perfecto impar? La cuestión ha sido planteada explícitamente por Descartes (1596-1650), matemático condiscípulo de Mersenne. ¿Se han dado cuenta alguna vez que los filósofos más simpáticos también eran matemáticos? Descartes, pero sobre todo Leibniz. No sabemos si existe un número perfecto impar, pero se sabe que un número perfecto impar tiene que tener al menos 500 cifras, 10 a la potencia de 500. ¡Después de más de dos milenios de trabajo sobre números perfectos, nuestra ignorancia es infinita!
Ahora hablo del triángulo de Pascal, el así llamado triángulo de Pascal. La regla de formación es muy simple, por ejemplo 6 es la suma de 3 +3, 15 es la suma de 5 +10, etc… 70 es la suma de 35+35. Pero este triángulo fue conocido en China en el 200 como el triángulo de Yang Hui, en Persia en el siglo once como el triángulo de Omar Khayyam, y en India como el triángulo de Pingala (c. 450 AC), una fecha que me asombra. Pascal (1623-1662) nos es bien conocido como filósofo y escritor cristiano, pero también era un gran matemático y físico. ¿Pero por qué hablo de este triángulo? Es de gran importancia en el álgebra, pero ahora miremos sólo el diseño que hacen los números pares y los números impares: los números pares están en negro, los números impares en anaranjado, he aquí el mismo diseño sobre una escala mayor… El proceso continúa al infinito y es uno de los primeros ejemplos de un fractal, llamado el triángulo de Sierpinski (1882-1969), matemático polaco. Los fractales interesan a los matemáticos porque son de una complejidad infinita, pero que resulta de la interacción de un proceso simple, y hemos visto por el triángulo de Pascal que la regla de formación es muy simple. Pero nos resulta una complejidad infinita.
Ahora hablo de los fundamentos de la aritmética. El hecho de que el número del cual hemos hablado antes sea un número perfecto, el más grande que conocemos hoy, resulta de un cálculo, pero los teoremas de Euclides y Euler resultan de razonamientos: es solo a través de los razonamientos que se puede alcanzar un aspecto del infinito matemático, no se puede hacer un cálculo infinito, naturalmente, pero se puede demostrar un teorema con un contenido infinito.
¿Cuáles métodos son válidos para razonar sobre la infinidad de los números? En el 800, dos grandes matemáticos Richard Dedekind, (1831-1916) y Giuseppe Peano (1858-1932) han tenido el coraje de afrontar el problema: ¿qué es un número? ¿Por qué digo coraje? ¿Por qué era un problema muy difícil y complicado? No, todo lo contrario, deben haber tenido un poco de miedo de lo que habría podido decir la gente: "excuse, Herr Doktor Dedekind, Usted es un profesor de altas matemáticas en la universidad, ¿cómo es que se pone a estudiar aritmética? Los niños aprenden en primero de primaria qué cosa es un número!". Los axiomas de Peano se pueden expresar así: 0 es un número; cada número tiene un sucesor; 0 no es el sucesor de ningún número; dos números diferentes tienen sucesores diferentes. Y finalmente el principio de inducción: si una propiedad es verdadera para 0, y si es verdadera para el sucesor, de cada número por la cual es verdadera, entonces la propiedad es verdadera para cada número.
¡No doy ejemplos, basta ya con la matemática técnica! Pero quiero concluir con pocas observaciones generales. Los números deberían ser cosas claras y concretas, pero la explicación del concepto de número invoca el concepto vago y abstracto de propiedad. ¿Qué significa? Ha sido necesario precisar el axioma de inducción, precisando un lenguaje en el que se expresan las propiedades. Aristóteles (384-322 AC) dijo que el infinito siempre es potencial, y nunca actual, y tenía completamente razón. Querría hacer una pequeña modificación y decir que el infinito en el mundo creado siempre es potencial y nunca actual. He aquí Aristóteles. Los trabajos de Dedekind, Peano y otros matemáticos y lógicos eran una tentativa de capturar el infinito potencial de los números en un sistema infinito actual. Con estupor de los matemáticos la tentativa no se ha logrado. Dos teoremas de Goedel (1906-1978) son pertinentes. Resulta del famoso teorema de completitud que no es posible precisar la noción de "cada propiedad". Del famosísimo teorema de incompletitud resulta que no se puede demostrar la coherencia de la aritmética de Peano por medios elementales: no se puede demostrar que no se puede demostrar en el sistema que 0 es igual a 1, no se puede demostrar esto con medios elementales, un resultado asombroso. Las estrellas y la descendencia de Abraham, son creaciones divinas, de una infinidad potencial. La aritmética es una creación humana, y si creemos haber capturado el infinito actual en nuestro sistema, nos engañamos. Mira el cielo y cuenta las estrellas si puedes contarlas. Infinitas gracias.

Moderador: Agradecemos de corazón, realmente, a nuestros dos amigos que nos han abierto de un modo u otro, a todo nosotros, un horizonte que nos concierne. Sólo quiero en pocos segundos señalar un par de cosas que me han conmovido. La primera es que hemos visto, sea en la primera que en la segunda intervención, que para hablar de infinito, para tratar de afrontar esta palabra, esta amplitud, hemos sido obligados a hablar de una belleza, a hablar de algo fascinante, como si esta belleza fuera de veras una propiedad profunda de la realidad, sea de la realidad del cosmos que de la realidad de la inteligencia humana que se explora a sí misma en las matemáticas y que explora el mundo de las matemáticas. Y cuando nos topamos con algo grande, en una señal excepcional como puede ser la belleza la cual hemos vivido hoy, es más fácil reconocerla en todas las cosas. Si esta belleza es una propiedad profunda, si este Infinito con “I” mayúscula es una realidad que concierne a todas las cosas, haberla visto en ciertos momentos, en algunos aspectos, nos facilita reconocerla en todas las cosas, en las cosas ordinarias. El infinito, la belleza, está en la gota de agua como en la flor, no sólo en las galaxias o en los números infinitos. Hay una canción que es querida para muchos de nosotros, en la que a un cierto punto se dice: “toda la vida pide la eternidad". Podríamos parafrasear diciendo que toda la realidad habla del infinito, es señal de un Infinito que hace todas las cosas. Gracias a nuestros huéspedes.

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